Zeigen Sie, dass f(f(x)) = f(x) für alle x \in M gilt

Question

Aufgabe:

$(M,\sqsubseteq)$ist vollständiger Verband mit Infimumsoperator $\sqcap$. f ist eine bzg. $\sqsubseteq$ isotone Funktion. Es gilt $x \sqsubseteq f(x)$ und $f(f(x)) \sqsubseteq f(x)$. Zeigen Sie, dass $f(f(x)) = f(x)$ für alle x $\in$ M gilt

Problem:

Ich komme leider nicht einmal auf einen Ansatz dieses Problem zu lösen. Kann mir jemand einen Tipp geben?

Danke :)

Comments

Isoton heißt doch

$$x \sqsubseteq y \implies f (x )\sqsubseteq f (y )$$

oder?

---

" Zeigen Sie, dass $f(f(x)) = f(x)$ für alle x $\in$ M gilt "

heisst eigentlich, dass du zeigen sollst, dass es sich um eine Projektion handelt. Oder?

Answer 1

Würde mal denken: $$x\sqsubseteq f(x) \Rightarrow f(x)\sqsubseteq f(f(x))$$

aufgrund der Isotonie, dann folgt mit $$f(f(x))\sqsubseteq f(x)$$ nach Voraussetzung und Antisymmetrie der Halbordnung $$f(x)=f(f(x))$$.