Matrizen diagonalisierbar Überprüfen

Question

Aufgabe:

  Überprüfen Sie, ob di  folgenden Matrizen diagonalisierbar sind und diagonalisieren Sie diese gegebenenfalls.

 a)$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -3 & 3 &1 \\ -3 & 1 &3 \end{pmatrix}$ , b)$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -5 & 3 &3 \\ -4 & 1 &4 \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

Comments

Hast du irgendwelche Ansätze?

Solche Aufgaben kommen meistens auch in Klausuren dran. Du solltest diese also alleine lösen können, vor allem da man nach einem festen Schema vorgehen kann.

Answer 1

$\lambda:=\operatorname{solve}(|A-\lambda \cdot E|=0 ; \lambda)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]$

$\lambda_{1}=1$

DimEigenraum $==\left(n-\operatorname{rank}\left(A-\lambda_{1} \cdot E\right)\right)=1$

$E V \lambda 1:=\left(A-\lambda_{1} \cdot E\right)=\left[\begin{array}{lll}-2 & 1 & 1 \\ -3 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 2\end{array}\right]$

$E V11:=\operatorname{RRef}(E V \lambda 1)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

 $EV11 \cdot X=\left[\begin{array}{c}x 1-x 3 \\ x 2-x 3 \\ 0\end{array}\right]$
 $EV10 : = \left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$

$\lambda_{2}=2$
DimEigenraum $:=\left(n-\operatorname{rank}\left(A-\lambda_{2} \cdot E\right)\right)=2$

$E V \lambda 2:=\left(A-\lambda_{2} \cdot E\right)=\left[\begin{array}{lll}-3 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1\end{array}\right]$

$E V 21:=R \operatorname{Ref}(E V \lambda 2)=\left[\begin{array}{ccc}1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

$E V 21 \cdot X=\left[\begin{array}{c}-\frac{x 2-3 \cdot x 1+x 3}{3} \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$
$E V 20:=E V 22_{3}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$

$T:= \left[\begin{array}{lll}1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$

 $T^{-1} \cdot A \cdot T=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$

 Analog für b - gleiche EW - EW 1 wie a) - EW 2 DimEigenraum=1 - nicht dialogisierbar

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Ich habe es verstanden

Vielen Dank für deine Hilfe :)