Sei \( V \) ein Vektorraum und seien \( n \) Untervektorräume \( U_{k} \subset V \) für \( k=1, \ldots, n \) gegeben. Wir verallgemeinern nun das bereits aus der Vorlesung bekannte Konzept der direkten Summe von zwei auf \( n \) Untervektorräume. Wir nennen \( V \) die direkte Summe aus den Untervektorräumen \( U_{k} \), wenn die beiden Bedingungen
1) \( V=U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{n} \)
2) von Null verschiedene Vektoren \( u_{1} \in U_{1}, u_{2} \in U_{2}, \ldots, u_{n} \in U_{n} \) sind linear unabhängig
erfüllt sind. In diesem Fall schreiben wir \( V=U_{1} \oplus \ldots \oplus U_{n} \).
(i) Sei für jedes \( k \in\{1, \ldots, n\} \) eine Basis \( B_{k} \) von \( U_{k} \subset V \) gegeben und sei \( \mathcal{B}:=B_{1} \cup B_{2} \cup \ldots \cup B_{n} \). Zeigen Sie die Äquivalenz:
$$ V=U_{1} \oplus \ldots \oplus U_{n} \Leftrightarrow \mathcal{B} \text { ist Basis von } V $$
(ii) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass 2) für \( n>2 \) nicht durch
$$ U_{1} \cap U_{2} \cap \ldots \cap U_{n}=\{0\} $$
ersetzt werden kann.
