Vektorfelder im R2 auf Konservativität prüfen

Question

Ich soll wegintegrale von verschiedenen vektorfeldern ausrechnen. Aber um es mir einfacher zu machen will ich überprüfen, ob das Feld

$v(x, y)=\left(\begin{array}{c}\sin y \\ x \cos y\end{array}\right)$

Konservativ ist.

Dafür wollte ich die Rotation ausrechnen und schauen ob diese null ist. Dafür hätte ich die letzte koordinierte z=0 gesetzt und dann herausbekommen das die Rotation 0 ist, also das Feld konservativ ist.

Darf ich das? Oder mache ich es mir zu einfach und wenn das falsch ist, wie kann ich feststellen ob das Feld konservativ ist?

Answer 1

Hallo Felicia,

du hast korrekt den Vektor $v_2 = (v_x, v_y)$ um eine gedachte $z$-Komponente zum Vektor $v_3 = (v_x, v_y, v_z)$ ergänzt. Die Rotation von $v_2$ ist dann die z-Komponente der Rotation von $v_3$. Da diese nur von $v_x$ und $v_y$ abhängt, kann man vereinfachend $v_z = 0$ wählen.

Ist die Rotation von $v_2$ null, so ist $v_2$ ein konservatives Feld, wie du richtig erkennst:

$\mathrm{rot}(v_2) = \frac{d v_y}{dx} - \frac{d v_x}{dy} = \cos(y) - \cos(y) = 0$.

Hier versteckt sich implizit die Integrabilitätsbedingung $\frac{d v_y}{dx} = \frac{d v_x}{dy}$. Als Potential $\varphi$ mit $\varphi = \nabla v$ ergibt sich

$\varphi = \int v_x dx = \int v_y dy = x \sin(y)$.



Mister

Comments

Vielen Dank :)

---

Bitteschön ;)