Parameter Berechnung Trendfunktion (Exponentiell)

Question

Aufgabe:

In einer Gemeinde wurde folgender Stromverbrauch (in Mio. kWh) ermittelt:

                  Jahr:  2011  2012   2013  2014  2015  2016  2017  2018  2019

Stromverbrauch:  8,0   8,9        9,6    10,6    11,7    13,0   14,2  15,6    17,1

a. Berechnen Sie die Parameter einer exponentiellen Trendfunktion für die Entwicklung des Stromverbrauchs. Setzen Sie dabei für 2011 t = 1.

Problem/Ansatz:

Hallo ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht voran. Ich habe probiert für 2011 t=1 zu setzen und habe dann laut Prognosen Formel t+1:

2011 = 1+1= 2    2012 = 3   2014 = 4  .... bis 2019 = 10

und habe dann probiert die Exponentielle Regressionsfunktion anzuwenden y = a*b^x

rauskommen soll x= 7,2833*1,0998^t

ich komme aber nicht annähernd mit meiner Formelsammlung auf das Ergebnis.

Kann mir bitte jemand weiter helfen? :-)

Answer 1

NUn dann setzen wir

$\small f_o(x) \, := \, a \; k^{x}$

und setzen ein f_o(X(j))=Y(j), X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

$\small Fxy \, := \, \left\{ a \; k = 8, a \; k^{2} = \frac{89}{10}, a \; k^{3} = \frac{48}{5}, a \; k^{4} = \frac{53}{5}, a \; k^{5} = \frac{117}{10}, a \; k^{6} = 13, a \; k^{7} = \frac{71}{5}, a \; k^{8} = \frac{78}{5}, a \; k^{9} = \frac{171}{10} \right\}$

$\small \sum_{j=1}^{9}\left(f_o\left(X\left(j \right) \right) - Y\left(j \right) \right)^{2}$

$\small =Q \, := \, a^{2} \; k^{18} + a^{2} \; k^{16} + a^{2} \; k^{14} + a^{2} \; k^{12} + a^{2} \; k^{10} + a^{2} \; k^{8} + a^{2} \; k^{6} + a^{2} \; k^{4} + a^{2} \; k^{2} - 34.2 \; a \; k^{9} - 31.2 \; a \; k^{8} - 28.4 \; a \; k^{7} - 26 \; a \; k^{6} - 23.4 \; a \; k^{5} - 21.2 \; a \; k^{4} - 19.2 \; a \; k^{3} - 17.8 \; a \; k^{2} - 16 \; a \; k + 1391.03$

dQ:={Derivative(Q,a ),Derivative(Q,k)}

$\small dQ \, := \, \left\{ 2 \; a \; k^{18} + 2 \; a \; k^{16} + 2 \; a \; k^{14} + 2 \; a \; k^{12} + 2 \; a \; k^{10} - \frac{171}{5} \; k^{9} + 2 \; a \; k^{8} - \frac{156}{5} \; k^{8} - \frac{142}{5} \; k^{7} + 2 \; a \; k^{6} - 26 \; k^{6} - \frac{117}{5} \; k^{5} + 2 \; a \; k^{4} - \frac{106}{5} \; k^{4} - \frac{96}{5} \; k^{3} + 2 \; a \; k^{2} - \frac{89}{5} \; k^{2} - 16 \; k,\\ 18 \; a^{2} \; k^{17} + 16 \; a^{2} \; k^{15} + 14 \; a^{2} \; k^{13} + 12 \; a^{2} \; k^{11} + 10 \; a^{2} \; k^{9} - \frac{1539}{5} \; a \; k^{8} + 8 \; a^{2} \; k^{7} - \frac{1248}{5} \; a \; k^{7} - \frac{994}{5} \; a \; k^{6} + 6 \; a^{2} \; k^{5} - 156 \; a \; k^{5} - 117 \; a \; k^{4} + 4 \; a^{2} \; k^{3} - \frac{424}{5} \; a \; k^{3} - \frac{288}{5} \; a \; k^{2} + 2 \; a^{2} \; k - \frac{178}{5} \; a \; k - 16 \; a \right\}$

Solve(dQ,{a,k})

$\small \left\{ \left\{ a = 0, k = 0 \right\} , \left\{ a = 7.28716, k = 1.09973 \right\} , \left\{ a = -2.55061, k = -0.79338 \right\} \right\}$

$\small$

Comments

Hi, danke für die Antwort! Aber der Großteil deiner Rechnung wird mir nicht angezeigt ich sehe nur "a k^x" ?

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Bin versehentlich auf Senden gekommen - rest kommt gleich...

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Oh Wow vielen dank für die ausführliche Rechnung!

kurze Frage: ich kenne das Normaler weiße mit einer Rechentabelle für Zwischenergebnisse z.b für a^= [logx)²*[logy] - [log x]*[log x * Log y] / n*[(log)]² - ([logx])²

und das Selbe Prinzip für b^ , aber ich wusste eben nicht ob die "Stromwerte" das "x" sind und wenn ja welche werte sind dann das Y

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normaler weise

kann man natürlich die Grundform logarithmieren - nur dem CAS ist es egal...

Ich hab die Angabe

>"Setzen Sie dabei für 2011 t = 1"

so interpretiert, dass die X-Werte bei 1 beginnen

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Ah ok, hätte ich dann X werte von 1-9 und die Y-Werte sind der Stromverbrauch?

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Nu ja, so hab ich's angenommen 

- siehe F_xy

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Ok Dankeschön, ich probiere es nochmal mit den jeweiligen Logarithmus Funktionen ob ich jetzt auf das Richtige Ergebnis kommen :-D

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Du solltest (ohne Rechenfehler:-) auch auf das richtige Ergebnis kommen - viel Erfolg - vielleicht kannst Du Deine Lösung hier kurz zusammenfassen?

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Also irgendwie stimmt mein log a^ immer noch nicht ich stelle mal fix das rein, wie ich es eig. rechnen sollte vielleicht sieht man dann den Fehler :-D

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Folgende Formel für  a^= [logx)²*[logy] - [log x]*[log x * Log y] / n*[(log)]² - ([logx])²

 [Xi] = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

[Yi] =  8,0  + 8,9  +   9,6   +  10,6   + 11,7 +   13,0  +14,2 + 15,6+    17,1 = 108,70

[Log Yi] = 9,62059...

[Xi²] = 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9² = 285

[Xi * Log Yi ] = 50,582476...

Formel für b^= n*[x log y ] - [x][log y] / n[x²]-([x])²

Eingesetzt komme ich dann auf 0,86233... für log a^

Was genau mach ich falsch?

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Hm, ich kann Deine Formel, unvollständig und fehlerhaft, nicht interpretieren. Bei meinen Überlegungen kommen immer auch Mittelwerte vor. Ob die in Deiner Formel umschrieben werden kann ich nicht nachvollziehen und, wg. siehe oben, auch nicht nachrechnen...

Ich würde die Rechnung mit log auch ehr auf die Form y=a e^(k*x) anwenden und dann b=e^k substituieren - vielleicht ist Deine Formel auch dafür gedacht und es fehlt in Deiner Rechnung die Substitution?

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Meinen Ansatz der Form

y=a e^(b*x)

Log und damit auf eine lineare Ausgleichsrechnung zurückgeführt ===>

log(y)=log(a)+b x

Die Herleitung der Summenformeln einer lin. Regression kannst Du hier nachlesen

https://www.geogebra.org/m/YjjE9nwR

und mit

X := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Y :=log({8, 8.9, 9.6, 10.6, 11.7, 13, 14.2, 15.6, 17.1})

Y:={2.079, 2.186, 2.262, 2.361, 2.459, 2.565, 2.653, 2.747, 2.839}

erhält man für y=a₀ a₁^x

$\large \left(\begin{array}{r}a_{0}\\a_{1}\\\end{array}\right) = e^{\left(\begin{array}{r}\frac{S_{x} \; S_{xy} - S_{y} \; S_{xx}}{S_{x}^{2} - S_{xx} \; n}\\\frac{S_{x} \; S_{y} - S_{xy} \; n}{S_{x}^{2} - S_{xx} \; n}\\\end{array}\right)}$

Substitute((a₀,a₁),{S_xx = ∑(X²), S_x = ∑(X), S_y = ∑(Y), S_xy = ∑(X Y), n = 9})

$\left(\begin{array}{r}a_{0}\\a_{1}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}7.283330903473\\1.099828576529\\\end{array}\right)$

Du kannst ja meine Formel mal mit Deiner abgleichen - könnte sein, dass Du die gleiche Formel meinst?