Stetigkeit von Funktionen mit einer Umgebung delta

Question

Hallo

Ich soll zeigen, dass es für alle stetigen Funktionen \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  \) mit \( f(0) \neq 0 \) eine Umgebung \(U = (-δ,δ)\) von 0 gibt, sodass \(f(x) \neq 0\) für alle \(x \in U\)

Ich hab leider keine Idee wie ich da anfangen kann...

Answer 1

Nimm die Definition der Stetigkeit:

f stetig bei x=0 bedeutet doch:

Für alle ε>0 gibt es ein δ>0 mit |x-0| < δ ==> | f(x)-f(0)| <ε

Da bei deiner Funktion f(0)≠0 ist, gilt | f(0) | > 0, also auch

ε =  | f(0) |   > 0.   Also gibt es auch zu diesem ε ein δ

mit   |x-0| < δ ==> | f(x)-f(0)| <ε

                     ==>   | f(x)-f(0)| <  | f(0) |

                  ==>    -   | f(0) | < f(x)-f(0) <  | f(0) |

                 ==>    - | f(0) |   + f(0)  < f(x) <  | f(0) | + f(0)

1. Fall: f(0)>0 ==>    - | f(0) |   + f(0)  = 0  und    | f(0) | + f(0) = 2f(0) > 0

also sagt dann #, dass f(x) für alle x mit |x-0| < δ zwischen 0 und einer pos.

Zahl liegt, also positiv und damit ungleich 0 ist.

2. f(0) < 0  entsprechend, dann ist dort immer f(x) < 0 , also auch ungleich 0.

Und |x-0| < δ ist ja gerade die Bedingung x ∈ ( -δ ; δ ).