Zeigen Sie, dass limt→∞ v(t) = ee^π/2

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Sei v die Lösung der Differentialgleichung
(1 + t²) y'  + e^arctant y = 0
mit dem Anfangswert
y(0) = e^-1
.
Zeigen Sie, dass limt→∞ v(t) = e^e^π/2

Wie kann man diese Frage lösen?

Comments

Hallo,

es handelt sich um eine Dfferentialgleichung mit getrennten Veränderlichen, die sich standardmäßig lösen lässt.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

$$\left.(1+t^2)y'+e^{\arctan t}y=0\quad\right|\;:y$$$$\left.(1+t^2)\frac{y'}{y}+e^{\arctan t}=0\quad\right|\;-e^{\arctan t}$$$$\left.(1+t^2)\frac{y'}{y}=-e^{\arctan t}\quad\right|\;:(1+t^2)$$$$\left.\frac{y'}{y}=-\frac{1}{1+t^2}e^{\arctan t}\quad\right|\;(\arctan t)'=\frac{1}{1+t^2}$$$$\left.\frac{y'}{y}=-(\arctan t)'e^{\arctan t}\quad\right|\;\text{integrieren}$$$$\left.\ln|y|=-e^{\arctan t}+c_1\quad\right|\;c_1=\text{const}\;\;;\;\;e^{\cdots}$$$$\left.y=c\cdot e^{-e^{\arctan t}}\quad\right|\;c:=e^{c_1}=\text{const}$$Die Konstante $c$ folgt aus der Anfangsbedingung:$$e^{-1}=y(0)=c\cdot e^{-e^{\arctan 0}}=c\cdot e^{-e^0}=c\cdot e^{-1}\quad\Rightarrow\quad c=1$$Die Lösung für das Anfangswertproblem ist daher:$$y(t)=e^{-e^{\arctan t}}$$Für den Grenzübergang $t\to\infty$ heißt das:$$\lim\limits_{t\to\infty}y(t)=e^{-e^{\pi/2}}$$