Punktprobe bei verschiedenen Ebenen

Question

Aufgabe:

Punktprobe bei verschiedenen Ebenen Prüfen Sie jeweils, ob die Punkte P und Q in der Ebene E liegen.

a) Ebene \( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \)
\( P(1|4|-1) \) und \( Q(8|-1| 4) \)

b) \( E \) ist parallel zur z-Achse und enthält die Punkte \( A(3|3| 0) \) und \( B(0|6| 2) \), \( P(4|2| 4) \) und \( Q(0|7| 3) \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich vorgehen muss oder wie das geprüft werden kann. Einen Ansatz habe ich auch nicht

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Punktprobe bei verschiedenen Ebenen zum prüfen

Stichworte: punktprobe,punkt,geraden

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich vorgehen muss oder wie das geprüft werden kann. Einen Ansatz habe ich auch nicht

Answer 1

a)

[1, 1, 2] + r·[1, 1, -1] + s·[2, -1, 1] = [1, 4, -1] --> r = 2 ∧ s = -1

[1, 1, 2] + r·[1, 1, -1] + s·[2, -1, 1] = [8, -1, 4] → r = 1 ∧ s = 3

b)

[3, 3, 0] + r·[-3, 3, 2] + s·[0, 0, 1] = [4, 2, 4] --> r = - 1/3 ∧ s = 14/3

[3, 3, 0] + r·[-3, 3, 2] + s·[0, 0, 1] = [0, 7, 3] → keine Lösung

Answer 2

10a)

Überprüfe, ob \(\begin{pmatrix} 1\\4\\-1 \end{pmatrix}\) eine Linearkombination von den drei Vektoren, die die Ebene definieren, ist:$$\begin{pmatrix} 1\\4\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix}$$ Zeilenweise trägst du daraus ein Gleichungssystem ab:$$\text{(i) } \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \,  1=1+r+2s \\ \text{(ii) } \, \, \, \, \, \, \, \, \,  4=1+r-s \\ \text{(iii) } -1=2-r+s$$ Besitzt dieses eine Lösung für \(r=\, ...\) und \(s=\, ...\), dann liegt der Punkt auf der Ebene.

Comments

Ich weiß aber nicht genau wie man das nun ausrechnet

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Du weißt nicht, wie man das Gleichungssystem löst?