die Eigenwerte von A bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei $$A \in R^{n*n}, n\geq3$$ mit Minimalpolynom $$g_{A}(X)= (X+3)(X-1)^{2}$$ . folgern Sie, dass A invertierbar ist und bestimmen Sie Koeffizienten $$α_{0},α_{1},α_{2}\in R$$ ,sodass

$$A^{-1}=α_{2}A^{2}+α_{1}A+α_{0}I_{n}$$

geben Sie zudem die Eigenwerte der Matrix A an

Ich bin mir total unschlüssig, wie ich an die Sache heran gehen soll. Wäre cool, wenn jemand das lösen könnte :)

Answer 1

Die Nullstellen des charakteristischen wie des Minimal-Polynoms sind die Eigenwerte

der Matrix. Die Matrix ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert ist, d.h.

wenn 0 keine Nullstell des Minimalpolynoms ist. Dieses hat offenbar die einzigen

Nullstellen $\lambda=-3$ und $\mu=1$, welches somit die Eigenwerte von $A$ sind.

$A$ ist Nullstelle des Minimalpolynoms $X^3+X^2-5X+3$, also gilt:

$A^3+A^2-5A+3E_n=0$ Multiplikation mit $A^{-1}$ liefert

$A^2+A-5E_n+3A^{-1}=0$, also $A^{-1}=\frac{1}{3}\cdot(-A^2-A+5E_n)$.

$E_n$ bedeutet dabei die $n\times n$-Einheitsmatrix.