Umkehrfunktion explizit angeben

Question

Hallo,

Zu der folgenden Aufgabe habe ich schon gezeigt dass die Abbildung f bijektiv ist, und dass die Inverse f^-1 existiert.

es bleibt mir noch, die Inverse explizit an zugeben. jedoch fällt mir das schwer bei  Funktionen mit mehreren Variablen.

würde mich freuen, wenn jemand mir helfen könnte.

ALSO: Geben Sie die Umkehrfunktion f^-1 explizit an

f : R² →R², (x , y) 7→ f(x , y) = ex( cos(y) , sin(y) ).    (x₀,y₀) = (0, π/2) .

Comments

Meinst du

f(x , y) = e^x( cos(y) , sin(y) )

?

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ja genau das meine ich.

Answer 1

Aloha :)$$\binom{f_x}{f_y}=e^x\binom{\cos y}{\sin y}$$$$f_x^2+f_y^2=e^{2x}\cos^2y+e^{2x}\sin^2y=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}\ln\left(f_x^2+f_y^2\right)$$$$\frac{f_y}{f_x}=\frac{e^x\sin y}{e^x\cos y}=\tan y\quad\Rightarrow\quad y=\operatorname{atan2}(f_y,f_x)$$

Comments

Hallo, Vielen Dank für die Antwort erstmal.

Ist das aber eigentlich immer so, dass man f_y durch f_x  (bei Funktionen mit mehreren Variablen )  teilen soll, um an die Inverse zu kommen??

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Wir müssen hier versuchen, einen Ausdruck für \(y\) und \(x\) zu finden, der die jeweils andere Variable nicht mehr enthält. Daher bietet sich die Division an, um den Faktor \(e^x\) los zu werden. Man muss also nicht immer dividieren, aber die Division ist oft ein geeignetes Mittel um eine Variable zu eleminieren.