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Hallo,

Zu der folgenden Aufgabe habe ich schon gezeigt dass die Abbildung f bijektiv ist, und dass die Inverse f-1 existiert.

es bleibt mir noch, die Inverse explizit an zugeben. jedoch fällt mir das schwer bei  Funktionen mit mehreren Variablen.

würde mich freuen, wenn jemand mir helfen könnte.

ALSO: Geben Sie die Umkehrfunktion f-1 explizit an

f : R² →R², (x , y) 7→ f(x , y) = ex( cos(y) , sin(y) ).    (x0,y0) = (0, π/2) .

von

Meinst du


f(x , y) = e^x( cos(y) , sin(y) )

?

ja genau das meine ich.

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha :)$$\binom{f_x}{f_y}=e^x\binom{\cos y}{\sin y}$$$$f_x^2+f_y^2=e^{2x}\cos^2y+e^{2x}\sin^2y=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}\ln\left(f_x^2+f_y^2\right)$$$$\frac{f_y}{f_x}=\frac{e^x\sin y}{e^x\cos y}=\tan y\quad\Rightarrow\quad y=\operatorname{atan2}(f_y,f_x)$$

von 39 k

Hallo, Vielen Dank für die Antwort erstmal.

Ist das aber eigentlich immer so, dass man fy durch fx  (bei Funktionen mit mehreren Variablen )  teilen soll, um an die Inverse zu kommen??

Wir müssen hier versuchen, einen Ausdruck für \(y\) und \(x\) zu finden, der die jeweils andere Variable nicht mehr enthält. Daher bietet sich die Division an, um den Faktor \(e^x\) los zu werden. Man muss also nicht immer dividieren, aber die Division ist oft ein geeignetes Mittel um eine Variable zu eleminieren.

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