Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Phase 1 mehr als 20 Minuten dauert?

Question

Aufgabe:

Die Produktion eines bestimmten Bauteils findet in drei direkt aufeinander folgenden Phasen statt. Die benötigte Zeit für Phase i sei normalverteilt und werde beschrieben mit der Zufallsvariable Xi. Es sei bekannt, dass die Phasen im Mittel \( 17 \mathrm{min}, 25 \mathrm{min} \) bzw. \( 22 \mathrm{min} \) dauern, wobei die Standardabweichungen für Phase 1 und 2 jeweils 2 min betragen. Für Phase 3 beträgt die Standardabweichung 6 min.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Phase 1 mehr als 20 Minuten dauert?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Produktion des Bauteils mehr als eine Stunde dauert?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Phase 2 langer dauert als Phase 3?

Ich habe schwierigkeiten die gesuchten Wahrscheinlichekiten  für b und c zu erkennen. Meine Ideen:

a) P(X1 > 20)

b) P(X1+X2+X3 > 60)

c) hier fehlt mir der Ansatz komplett.

Bitte helft mir die gesuchten Wahrscheinlichekiten zu bestimmen.

Comments

a)
P(X > 20) = 1 - NORMAL((20 - 17)/2) = 0.0668

b)
μ = 17 + 25 + 22 = 64
σ = √(2² + 2² + 6²) = 2·√11
P(X > 60) = 1 - NORMAL((60 - 64)/(2·√11)) = 0.7268

c)
hier war ein Fehler drin.

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Danke für deine Antwort :)

a und b verstehe ich volkommen.

Könntest du dein Gedanke für c erläutern? Warum die Standardnormalverteilung mal 2 rechnen? Und wie würde die konkrete Forulierung für die Wahrscheinlichkeit aussehen?

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Sorry. c) enthält noch einen Fehler. Ich habe mich verlesen.

Answer 1

Hey Peterpete12,

Interessante Aufgabe zum Thema Zufallsvektoren, speziell wenn alle Zufallsvariablen normalverteilt sind.

(a) \(P(X_1>20)=1-\Phi\left(\dfrac{20-\mu_1}{\sigma_1}\right) =\dots\)

(b) \(P(X_1+X_2+X_3>60)=1-\Phi\left(\dfrac{60-(\mu_1+\mu_2+\mu_3)}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2}}\right)=\dots\)

(c) \(P(X_2>X_3)=P(X_2-X_3>0)=1-\Phi\left(\dfrac{0-(\mu_2-\mu_3)}{\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_3^2}}\right)=\dots\)

Begründung:

(1) Alle \(X_i\) sind unabhängig

(2) \(E\left(\sum X_i\right)=\sum E(X_i)\)

(3) \(\text{Var}\left(\sum X_i\right)=\sum\text{Var}(X_i)\)   (wegen (1))

und speziell für (c) noch ein Rechengesetz für Varianzen: \(\text{Var}\left(c\cdot X_i\right)=c^2\cdot\text{Var}\left(X_i\right)\)

Viel Spaß!
MathePeter

Comments

Großen Dank!

Das man die WS bei c ja auch mit X2 - X3 > 0 schreiben kann ist mir gar nicht eingefallen.

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Ja cooler Trick, ich hab die Aufgabe kennen gelernt mit "Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer von Batterie \(A\) größer ist als die Lebensdauer von Batterie \(B\)". Unabhängig von der Story sinds immer die gleichen Aufgaben und Methoden. Kennste eine kennste alle haha