Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Phase 1 mehr als 20 Minuten dauert?

Question

Aufgabe:

Die Produktion eines bestimmten Bauteils findet in drei direkt aufeinander folgenden Phasen statt. Die benötigte Zeit für Phase i sei normalverteilt und werde beschrieben mit der Zufallsvariable Xi. Es sei bekannt, dass die Phasen im Mittel $17 \mathrm{min}, 25 \mathrm{min}$ bzw. $22 \mathrm{min}$ dauern, wobei die Standardabweichungen für Phase 1 und 2 jeweils 2 min betragen. Für Phase 3 beträgt die Standardabweichung 6 min.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Phase 1 mehr als 20 Minuten dauert?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Produktion des Bauteils mehr als eine Stunde dauert?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Phase 2 langer dauert als Phase 3?

Ich habe schwierigkeiten die gesuchten Wahrscheinlichekiten  für b und c zu erkennen. Meine Ideen:

a) P(X1 > 20)

b) P(X1+X2+X3 > 60)

c) hier fehlt mir der Ansatz komplett.

Bitte helft mir die gesuchten Wahrscheinlichekiten zu bestimmen.

Comments

a)
P(X > 20) = 1 - NORMAL((20 - 17)/2) = 0.0668

b)
μ = 17 + 25 + 22 = 64
σ = √(2² + 2² + 6²) = 2·√11
P(X > 60) = 1 - NORMAL((60 - 64)/(2·√11)) = 0.7268

c)
hier war ein Fehler drin.

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Danke für deine Antwort :)

a und b verstehe ich volkommen.

Könntest du dein Gedanke für c erläutern? Warum die Standardnormalverteilung mal 2 rechnen? Und wie würde die konkrete Forulierung für die Wahrscheinlichkeit aussehen?

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Sorry. c) enthält noch einen Fehler. Ich habe mich verlesen.

Answer 1

Hey Peterpete12,

Interessante Aufgabe zum Thema Zufallsvektoren, speziell wenn alle Zufallsvariablen normalverteilt sind.

(a) $P(X_1>20)=1-\Phi\left(\dfrac{20-\mu_1}{\sigma_1}\right) =\dots$

(b) $P(X_1+X_2+X_3>60)=1-\Phi\left(\dfrac{60-(\mu_1+\mu_2+\mu_3)}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2}}\right)=\dots$

(c) $P(X_2>X_3)=P(X_2-X_3>0)=1-\Phi\left(\dfrac{0-(\mu_2-\mu_3)}{\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_3^2}}\right)=\dots$

Begründung:

(1) Alle $X_i$ sind unabhängig

(2) $E\left(\sum X_i\right)=\sum E(X_i)$

(3) $\text{Var}\left(\sum X_i\right)=\sum\text{Var}(X_i)$   (wegen (1))

und speziell für (c) noch ein Rechengesetz für Varianzen: $\text{Var}\left(c\cdot X_i\right)=c^2\cdot\text{Var}\left(X_i\right)$

Viel Spaß!
MathePeter

Comments

Großen Dank!

Das man die WS bei c ja auch mit X2 - X3 > 0 schreiben kann ist mir gar nicht eingefallen.

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Ja cooler Trick, ich hab die Aufgabe kennen gelernt mit "Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer von Batterie $A$ größer ist als die Lebensdauer von Batterie $B$". Unabhängig von der Story sinds immer die gleichen Aufgaben und Methoden. Kennste eine kennste alle haha