Ursprung einen Sattelpunkt

Question

Aufgabe:

Die Funktion R²  ∈ (x,y) → g(x,y) := (y−x)(y−3x) hat im Ursprung einen Sattelpunkt

Problem/Ansatz:

Wie kann man das herausfinden ?

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

$$g(x,y)=(y-x)(y-3x)$$$$\operatorname{grad}g(x,y)=\binom{-(y-3x)-3(y-x)}{(y-3x)+(y-x)}=\binom{6x-4y}{2y-4x}$$Der Gradient ist an der Stelle $(0|0)$ glech $\vec 0$. Daher ist $(0|0)$ ein kritischer Punkt. Wir bestimmen die Hesse-Matrix, um zu prüfen, ob ein Extremum vorliegt oder ein Sattelpunkt:$$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=6\quad;\quad\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}=-4\quad;\quad\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=2$$Die Hesse-Matrix ist daher: $H=\begin{pmatrix}6 & -4 \\ -4 & 2\end{pmatrix}$

Wegen $\operatorname{det}(6)=6>0$ und $\operatorname{det}H=12-16=-4<0$, ist $H$ indefinit, sodass an der Stelle $(0|0)$ kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vorliegt.

Answer 2

Die partiellen Ableitungen müssten 0 sein, aber kein Extrempunkt vorliegen.

Wurde in einer Lehrveranstaltung schon mal die so genannte "Hesse-Matrix" erwähnt?

Comments

Ja , wir haben schon schon auch die Hesse-Matrix gelernt

Answer 3

Bei mir kommt heraus.
Steigung im Punkt ( 0 | 0 ) in beide Richtugen null.
Krümmung in x Richtung 6 im ganzen Verlauf.
Krümmung in y Richtung 2 im ganzen Verlauf.

Der Punkt müßte ein Tiefpunkt sein .