Konvergent von Folgen (an)n>=1, an = 1/ns, s e Q > 0

Question

Konvergenz von Folgen:

(an)_n≥1, an = (1/n^s), S ∈ Q_>0

Ich weiß nun dass diese Folge divergiert und habe zwar eine Begründung gefunden, jedoch nicht wirklich verstanden:

Sei Ԑ > 0 und wähle N > 1/2 Dann gilt  <---- (über die 2 bin ich mir nicht sicher diese Begründung ist in meinen alten Unterlagen und leider etwas verschmiert.)

| 1/n^s - 0 | = 1/n^s ≤ 1/N^s  < Ԑ für alle n ≥ N

Answer 1

Aloha :)

Für die Konvergenz einer Folge $(a_n)$ gegen einen Grenzwert $a$ musst du nachweisen, dass für jedes beliebige $\varepsilon>0$ gilt:$$\left|a_n-a\right|<\varepsilon\quad\text{für fast alle }n\in\mathbb N$$Für fast alle $n\in\mathbb N$ bedeutet, dass die Ungleichung ab einem bestimmten $n_0\in\mathbb N$ für alle $n\in\mathbb N^{>n_0}$ gültig sein muss. Das Schöne daran ist, dass dieses $n_0$ von $\varepsilon$ abhängen darf.

In deinem Beispiel ist $a_n=1/n^s$ mit $s\in\mathbb Q^+$. Wir wählen ein $\varepsilon>0$ völlig beliebig und halten es fest. Setzen wir weiter $n_0:=\lceil1/\sqrt[s]{\varepsilon}\rceil$, so gilt:$$n_0^s\ge\frac{1}{\varepsilon}\quad\text{bzw.}\quad\frac{1}{n_0^s}\le\varepsilon$$und wir können für alle $n>n_0$ notieren:$$\left|a_n-0\right|=\frac{1}{n^s}<\frac{1}{n_0^s}\le\varepsilon$$Die verwischte "$\,2\,$" in deinem Skript ist daher vermutlich ein $\sqrt[s]{\varepsilon}$.

Comments

Sehr ausführlich wirklich großen Dank dafür, dass du dir die Zeit genommen hast! :)))