Stetigkeit einer Funktion ℝ2 auf ℝ beweisen

Question

Hallo, ich habe die Funktion $$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{l} \frac{x \cdot y}{x^{2}+y^{2}} \text { für } x \neq 0 \text { oder } y \neq 0 \\ 0 \text { für } x=0 \text { und } y=0 \end{array}\right.$$ und soll einerseits zeigen, dass f bezüglich der Standardmetrik von ℝ überall stetig ist, außer in (0, 0), wo sie unstetig ist, andererseits soll ich eine Metrik auf ℝ² angeben, bezüglich derer f stetig wird.

Leider komme ich hierbei nicht weiter und frage mich, ob mir hier jemand helfen kann.

MfG

Answer 1

Hallo,

sei$$f : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{l} \frac{x \cdot y}{x^{2}+y^{2}} \text { für } x \neq 0 \text { oder } y \neq 0 \\ 0 \text { für } x=0 \text { und } y=0 \end{array}\right.$$ Schreibe in Polarkoordinaten, also $x$ als $x=r\cdot \cos \varphi$ und $y=r \sin \varphi$ und $r^2=x^2+y^2$. Interessant ist nur, was passiert,wenn $(x,y)\to (0,0)$. In Polarkoordinaten:$$\lim\limits_{r\to 0}\frac{r^2\sin\varphi \cos \varphi}{r^2}=\lim\limits_{r\to 0}\sin\varphi \cos \varphi=\sin\varphi \cos \varphi$$ Da dieser Grenzwert vom Winkel $\varphi$, von dem man sich an $(0,0)$ annhähert, abhängt, ist $f$ in $(0,0)$ nicht stetig.

Nicht nur $f$, sondern jede Funktion ist bzgl. der diskreten Metrik stetig.