Skalarprodukt anders definiert → Beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass auf dem \(\mathbb{R}^2\) durch \(\langle.,.\rangle : \ \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},〈(a_1,a_2),(b_1,b_2)〉:= 2a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+ 3a_2b_2 \)

ein Skalarprodukt definiert wird.

Answer 1

Ich führe mal die Symmetrie mal vor:

Für beliebige \((x_1,x_2),(y_1,y_2)\in \mathbb{R}^2\) hat man

\(\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle \\=2\cdot x_1\cdot y_1+x_1\cdot y_2+x_2\cdot y_1+3\cdot x_2\cdot y_2\\=2\cdot y_1\cdot x_1+y_2\cdot x_1+y_1\cdot x_2+3\cdot y_2\cdot x_2\\=2\cdot y_1\cdot x_1+y_1\cdot x_2+y_2\cdot x_1+3\cdot y_2\cdot x_2\\=\langle(y_1,y_2),(x_1,x_2)\rangle\)

Jetzt fehlt nur noch die Bilinearität und die positive Definitheit.