Aloha :)
Die Basis \(B\) ist in Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(S\) gegeben. Wenn du also die Basisvektoren von \(B\) als Spalten in eine Matrix schreibst, ist das die Übergangsmatrix von \(B\) nach \(S\):$${_S}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & 2\\1 & 2 & 0\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad{_B}\mathbf{id}_S=\left({_S}\mathbf{id}_B\right)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix}$$Die Tansformationsmatrix von \(S\) nach \(B\) ist die Inverse der Transformationsmatrix von \(B\) nach \(S\), die du übrigens völlig korrekt berechnet hast.
Der Vektor \(\vec v\) ist in Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) gegeben und soll in Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(S\) umgerechnet werden:$$\vec v_S={_S}\mathbf{id}_B\cdot\vec v_B=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\0 & 1 & 2\\1 & 2 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}-4\\7\\-5\end{pmatrix}_S$$
Der Vektor \(\vec w\) ist in Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(S\) gegeben und soll in Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) umgerechnet werden:$$\vec w_B={_B}\mathbf{id}_S\cdot\vec w_S=\begin{pmatrix}\frac{4}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\27\\-9\end{pmatrix}_S=\begin{pmatrix}29\\-19\\23\end{pmatrix}_B$$
