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Aufgabe
Betrachten Sie die obere Halbkugel \( K \) mit Radius \( r=2 \) wie in der Skizze:

blob.png

Berechnen Sie die Masse von \( K \) wenn die Massenverteilung \( \rho \) gegeben ist durch:
$$ \rho(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

(Zur Erinnerung: Es gilt \( K=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, z \geq 0\right\} \)


Problem/Ansatz:

Hey ich verstehe nicht wann man für den Radius die Wurzel ziehen muss und wann nicht.

Als Beispiel diese Aufgabe. Woher weiß ich wann ich nach dem Transformieren zu Kugelkoordinaten nun die Wurzel ziehen muss für den Radius und wann nicht? Und wieso wird aus 1/x²+y²+z²= 1/r² ?

von

2 Antworten

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Hallo

dass eine Kugel die Gleichung x^2+y^2+z^2=r^2 hat solltest du wissen, (ist einfach Pythagoras, und dann ist natürlich r die Wurzel also r=√(x^2+y^2+z^2) und 1/(x^2+y^2+z^2)=1/r^2

Du musst nirgends bei Kugelkoordinaten die Wurzel ziehen, da kommt ja nur r vor?

dass du hier natürlich am einfachsten in Kugelkoordinaten rechnen ist dir hoffentlich klar, und das richtige dV  damit auch.

Gruß lul

von 93 k 🚀
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Aloha :)

Um die Masse \(M\) der Halbkugel zu bestimmen, musst du ihre Dichte \(\rho\) über das Volumen integrieren:$$M=\int\limits_V\rho(x,y,z)\,dV=\int\limits_V\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\,dV$$Zur Berechnung des Integrals verwenden wir Kugelkoordinaten:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta$$Wegen \(x^2+y^2+z^2\le4\) hat die Halbkugel den Radius \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{4}=2\). Die Forderung \(z\ge0\) sorgt dafür, dass wir nur die Halbkugel oberhalb der xy-Ebene betrachten, führt aber zu der Einschränkung, dass \(\vartheta\le\frac{\pi}{2}\) sein muss. Das heißt für die Integrationsgrenzen:$$r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

Damit können wir das Integral vo oben umschreiben:$$M=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\frac{1}{r^2}\,r^2\sin\vartheta=\int\limits_0^2dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\vartheta\,\sin\vartheta$$$$\phantom{M}=\left[r\right]_0^2\,\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\pi/2}=(2-0)(2\pi-0)(-0+1)=4\pi$$

von 128 k 🚀

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