Stimmen diese Matrizen so?

Question

Hi, stimmt das so?

$$e^{\begin{pmatrix} 0& -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} cos(x) & -sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{pmatrix}$$
$$e^{\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} cosh(x) & sinh(x) \\ sinh(x) & cosh(x) \end{pmatrix}$$
$$e^{\begin{pmatrix} 0& 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} cos(x) & sin(x) \\ -sin(x) & cos(x) \end{pmatrix}$$

Welche Matrix müsste ich als Potenz benutzen um $$\begin{pmatrix} cos(x) & sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{pmatrix}$$ bzw. $$\begin{pmatrix} cosh(x) & -sinh(x) \\ sinh(x) & cosh(x) \end{pmatrix}$$ zu erhalten. Ich weiß, dass dass mit dem Vorzeichen für den Cosinus bzw. Cosinus hyperbolicus ja hinfällig ist, weil der ja sowieso symmetrisch ist, aber gibt es da irgendein einheitliches Vorgehen für den Sinus oder irgendwie eine Liste für?
LG

Answer 1

Wahrscheinlich heisst es in der Aufgabe (1) $$ e^{\begin{pmatrix} 0 & -x \\ x & 0 \end{pmatrix}} $$ Wenn ja, dann stimmt das Ergebnis. Analog die anderen Aufgabe.

Comments

danke für deine Antwort. Was müsste ich denn machen um $$\begin{pmatrix} cos(x) & sin(x) \\ sin(x) & cos(x) \end{pmatrix}$$ zu bekommen?

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Zur Unterstützung:

https://matrixcalc.org/de/vectors.html#e%5E%7B%7B0,-x%7D,%7Bx,0%7D%7D

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Diagonalisiere die Matrix $$ A = \begin{pmatrix} \cos(x) & \sin(x) \\ \sin(x) & \cos(x) \end{pmatrix} $$ zu $$ T^{-1} A T = D =  \begin{pmatrix} d_{11} & 0 \\ 0 & d_{22} \end{pmatrix} $$ \( T \) besteht aus den Eigenvektoren als Spaltenvektoren.

Danach berechne $$  \ln(D) = \begin{pmatrix} \ln(d_{11}) & 0 \\ 0 & \ln(d_{22}) \end{pmatrix} $$ und berechne dann $$  B = T \ \ln(D) \ T^{-1} $$

Dann gilt $$ e^B = A $$