Zeigen: Zahl z2 = -1 + √2 • i ist eine Nullstelle von f(z)

Question

Aufgabe:

Polynomfunktion betrachten und zeigen, dass..
f(z) = z⁶+ (5 -i)z⁵ + (5 -5i)z⁴ - (11 + 5i)z³ - (36 -11i)z² - (36 -36i)z + 36i ∊ C[z]

1) Zeigen: Zahl z₂ = -1 + √2 • i ist eine Nullstelle von f(z)
2) f(z) in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegen, in dem Sie geeignete Polynomdivisionen durchführen

Problem/Ansatz:

Hi, wie kann ich da vorgehen oder gar lösen?!

Answer 1

Die Rechnung ist etwas aufwendiger, da du für die gegebene Zahl die Potenzen hoch 2; hoch 3; ...; hoch 6 ausrechnen musst.

Über die Polarform ist es auch nicht unbedingt einfacher, da der Winkel eine krumme Zahl ist.

Dann musst du die einzelnen Potenzen mit den gegebenen Koeffizienten multiplizieren. Dabei können leider viele Fehler auftreten.

Tipp: Überprüfe die Rechnung zunächst mit Wolframalpha.

PS: Wolframalpha liefert übrigens drei reelle und drei nicht reelle Lösungen.

:-)

Answer 2

1.) $$z_2 = -1+i \sqrt{2}$$ in $f(z)$ einsetzen und ausrechnen. Wenn $z_2$ Nullstelle ist dann auch $\overline{z_2}$

2.) Polynomdivision mit $(z - z_2) (z - \overline{z_2})$ durchführen.

Danach ein wenig raten und weiter mit Polynomdivion wenn man eine Nullstelle geraten hat.

Comments

zu 1) Das gilt hier zwar, aber warum sollte es allgemein gelten?

---

Er soll doch zeigen das $z_2$ eine Nullstelle ist.

---

Das stimmt, ich meinte diesen Teil:

Wenn $z_2$ Nullstelle ist dann auch $\overline{z_2}$

Hier ist doch $f\in\mathbb{C}[z]$.

---

Ja da hast Du recht. Dann probiert man es eben mal mit $\overline{z_2}$

---

Er soll doch zeigen ...

Der Jennifer?   :-)

---

brauche eine richtige Rechnung^^

---

Dann mach mal. Wir können ja korrigieren.