Zeige, dass die folgenden Unterräume invariant bezüglich T sind: A , ker(T), im(T)

Question

Hi, ich verstehe irgendwie nicht, wie ich folgendes zeigen kann:

"Sei T: A → A linear, wobei V ein Vektorraum über einem Körper K ist.

Zeige, dass die folgenden Unterräume invariant bezüglich T sind: A , ker(T), im(T)"

Also ich müsste dann doch folgendes zeigen, oder?:

TA⊆A

A ker(T)⊆T

A im(T)⊆T

Könntet ihr mir vielleicht helfen?

Comments

Du musst zeigen:

$$ T(A) \subseteq A $$$$ T(\ker T) \subseteq \ker T $$$$ T(\operatorname{im} T) \subseteq \operatorname{im} T $$

Sei T: A → A linear, wobei V ein Vektorraum über einem Körper K ist.

Komisch das V vorher nicht erwähnt wurde.

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Oki, danke:)

Könnte ich dann so vorgehen für die 2?:

Sei x∈ker(T)=> ker(x)=0 und T*0=0 ∈ker(T), somit gilt T(kerT)⊆kerT.

Aber wie mache ich das bei im(T)?

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Es ist eigentlich klar, dass \( \forall x \in A : T(x) \in \operatorname{im} T \).

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Okay, Stimmt das was ich zum Kern geschrieben habe?

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Sei x∈ker(T)=> ker(x)=0

Sollte: => T(x) = 0 heißen.

T*0=0 ∈ker(T)

Hier: T*0 = 0 => 0 ∈ker(T) => T(x) ∈ker(T)

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Okay vielen lieben Dank:)

Answer 1

Hallo.

Wir zeigen zunächst, dass \(T(A) \subseteq A\) ist. Dies ist jedoch offensichtlich da wir in den selben Raum abbilden.

Für \(T(\ker T)\) ist nach Definition \(\ker T =\{a \in A | Ta=0\}=T^{-1}(0)\). Wir erhalten also \(T(\ker T)=T(T^{-1}(0))=(TT^{-1})(0)=Id(0)=0 \). Da jedoch wegen der Linearität der Abbildung \(T\) \(\ker T \subseteq V\) ein Unterraum von \(V\) ist, ist \(0 \in \ker T\) also \(T(\ker T)\subseteq \ker T\).

Betrachten wir nun den Bildraum von \(T\). Dieser ist \(\text{im} \ T = \{a \in A| \exists \tilde{a} \in A : T\tilde{a}=a\}\). Da das Bild wieder wegen der Linearität der Abbildung ein Unterraum des zugrundeliegenden Vektorraumes ist, folgt analog zum Kern die Invarianz. \(\square\)