Beweis Summe einer Wurzel und natürlichen Zahl ist irrational

Question

Aufgabe:

z.z. $\sqrt[7]{3}$+11 ist keine rationale zahl

Problem/Ansatz:

wie gehe ich denn bei diesem schema vor? da kann ich ja nicht das "klassische Vorgehen" von wurzel ∉ℚ nutzen

zumal ich auch hier die 7te Wurzel betrachte.

Kann mir hier jemand für die Lösung und das Lösungsvorgehen helfen?

Answer 1

Angenommen $\sqrt[7]{3}$ = $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt.

Dann ist 3=$\frac{p^{7}}{q^{7}}$ oder 3q⁷=p⁷.

Also ist p durch 3 teilbar, d.h.p=3n.

Dann ist 3q⁷=(3n)⁷ oder q⁷=3⁶·n⁷.

Also ist q durch 3 teilbar, - Widerspruch zu 'vollständig gekürzt'.

$\sqrt[7]{3}$ ist irrational.

Die Summe aus einer natürlichen und eine irrationalen Zahl ist irrational.

Comments

Super, vielen lieben Dank für deine Hilfe!

Answer 2

Zeige: $\sqrt[7\:]{3}+11$ ist nicht rational.

Beweis: Die Zahl $\sqrt[7\:]{3}+11=z$ ist Nullstelle der Polynomfunktion $p(z)=\left(z-11\right)^7-3$, deren Funktionsterm sich zu einem normierten Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten expandieren lässt.

Nach dem Satz über rationale Nullstellen (Lemma von Gauß) müssen in diesem Spezialfall alle rationalen Nullstellen unter den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes $(-11)^7-3=-19487174$ zu finden sein.

Die kleinen, natürlichen Teiler von 19487174 sind 1, 2, 7 und 14. Wegen $11 \lt \sqrt[7\:]{3}+11 \lt 14$ ist die Zahl z nicht unter den ganzzahligen Teilern des Absolutgliedes und daher ist z nicht rational.