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Die Kurve K sei die Verbinfungsstrecke von A= \( \begin{pmatrix} 3\\-3 \end{pmatrix} \)

Nach B= \( \begin{pmatrix} 6\\-3\end{pmatrix} \)


Weiter sei h: R^(2) -> R^(2): \( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\end{pmatrix} \) -> \( \begin{pmatrix} (x_1)/(5+x^(2)_2)\\12x^(2)_1x_2 \end{pmatrix} \)


Berechnen Sie den kurvenintegral

Integral (k über ) h(x)dx=  ()/()

von 2,1 k

Mein Versuch nachdem video

https://studyflix.de/mathematik/kurvenintegral-1666


ist das so richtig`?

Mein ansatz??

15954462037382324938419438054704.jpg

dieser Ansatz hat nix mit dem Kurvenintegral zu tun, videos für dich anzusehen weigere ich mich,

lul

Ich meinte ja auch nicht mit anzusehen.

Ich wollte nur zeigen wo ich meinen ansatz herhabe. Mehr war da auch nicht weiter.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir haben folgende Vektorfunktion und folgenden Weg \(C\) vorgegeben:$$\vec h:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\,,\,\binom{x}{y}\mapsto\left(\begin{array}{c}\frac{x}{5+y^2}\\12x^2y\end{array}\right)\quad;\quad C:\,\binom{3}{-3}\to\binom{6}{-3}$$Um das Kurvenintegral zu berechnen, musst du den Weg \(C\) zunächst parametrisieren, d.h. du musst einen Ortsvektor \(\vec r(t)\) finden, der vom Koordinatenursprung aus startet und jeden Punkt auf dem Weg \(C\) in Abhängigkeit von einem Parameter \(t\) abtastet. Dieser Parameter \(t\) könnte z.B. die Zeit sein. Da \(C\) eine Gerade ist, können wir eine Geradengleichung aufstellen:$$\vec r(t)=\binom{3}{-3}+t\,\left[\binom{6}{-3}-\binom{3}{-3}\right]=\binom{3}{-3}+t\,\binom{3}{0}=\binom{3+3t}{-3}\;\;;\;\;t\in[0;1]$$Wichtig ist hierbei, dass wir \(t\) auf das Intervall \([0;1]\) beschränken, damit wir nicht über die Endpunkte \(A\) bzw. \(B\) des Weges hinauslaufen.

Jetzt haben wir alles zusammen, um das Kurvenintegral zu bsetimmen:$$I=\int\limits_{(3;-3)}^{(6;-3)}\vec h(x,y)\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec h(x(t),y(t))\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\begin{pmatrix}\frac{3+3t}{5+(-3)^2}\\12(3+3t)^2(-3)\end{pmatrix}\binom{3}{0}\,dt$$Beachte bitte, wie der Übergang vom Integral über \(d\vec r\) zum Integral über den Parameter \(dt\) funktioniert. Indem wir unseren Weg \(C\) entlang wandern, können wir unsere \(x\)- und unsere \(y\)-Koordinate durch den Parameter \(t\) ausdrücken:$$\binom{x(t)}{y(t)}=\vec r(t)=\binom{3+3t}{-3}$$und in die Funktionsgleichung für \(\vec h\) einsetzen. Parallel dazu substituieren wir das Differential, damit wir nur nich die Integrationsvariable \(t\) haben:$$d\vec r=\frac{d\vec r}{dt}\,dt$$Da hier die \(y\)-Koordinate des Differentials verschwindet, wird das Integral sehr einfach:$$I=\int\limits_0^1\frac{3+3t}{5+(-3)^2}\cdot3\,dt=\frac{9}{14}\int\limits_0^1(1+t)\,dt=\frac{9}{14}\left[t+\frac{t^2}{2}\right]_0^1=\frac{9}{14}\cdot\frac{3}{2}=\frac{27}{28}$$

von 128 k 🚀

Vielen Dank :)

War sehr hilfreich

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Hallo

(das Kurvenintegral nicht den )

zuerst die Strecke parametrisieren c(t)=(3+2t, -3) dann h längs der Strecke und schließlich das spaltprodukt von h(c(t))*c'(t) integrieren von t =0 bis 1.

Gruß lul

von 93 k 🚀

Das mit dem paramitisieren ist ja

(t)=(3+2t, -3)


Dann h längst der strecke


Diesen part verstehe ich leider nicht gut

Kannst du mir bitte ein tipp oder zeigen wie es geht?

Kommtvda 8/3 raus?

Hallo

ich habe nicht 8/3 raus, aber dein h(x1,x2) ist schwer zu lesen

du musst in h  x1=3-2t, x2=-3 einsetzen dann mit c'(t)=(2,0) multiplizieren und das integrieren, Bitte zeig immer deine Rechnungen und nicht nur eine Ergebniszahl, wie sollen wir sonst sehen , was du falsch machst?

Gruß lul

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Gefragt 15 Jan 2022 von HanHan

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