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Aufgabe:

b) Untersuchen Sie welche \( x \in \mathbb{R} \) die folgende Ungleichung erfüllen:
$$ \frac{3|x|-14}{x-3} \leq 4 $$

Gibt es bei dieser Ungleichung 4 Fälle? Wie geh ich da am besten ran? Erst den Bruch wegbekommen oder direkt zur Fallunterscheidung?

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(3·|x| - 14)/(x - 3) ≤ 4

Fall 1: x ≤ 0

-3·x - 14 ≥ 4·(x - 3) --> x ≤ - 2/7

Fall 2: 0 ≤ x < 3

3·x - 14 ≥ 4·(x - 3) --> x ≤ -2 → Keine Lösung

Fall 3: 3 < x

3·x - 14 ≤ 4·(x - 3) --> x ≥ -2 --> x > 3

Damit komme ich auf die Lösung: x ≤ - 2/7 ∨ x > 3

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Muss man nur für den Nenner die Fälle angeben? Wie wird das |x| im Zähler behandelt?

LG

Muss man nicht alle Stellen wo ein x vorkommt betrachten?

zum Beispiel wenn als Zähler ein Betrag steht mit x

(2|x|)/(x+3)


und als Nenner auch ein term mit x

würde man dann einmal den Zähler mit 2|x| = 2x und -2(x) angucken und separat den bruch mit x+3 ><= 0 und dann alle Lösungsmengen zusammenrechnen oder wie würde man das machen?

Ja. Man muss natürlich Zähler und Nenner betrachten. Daher habe ich hier auch drei Fälle.

Fall 1: x ≤ 0

Im Zähler kann man |x| durch -x ersetzen.
Der Nenner ist negativ und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen um.

Fall 2: 0 ≤ x < 3

Im Zähler kann man |x| durch x ersetzen.
Der Nenner ist negativ und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen um.

Fall 3: 3 < x

Im Zähler kann man |x| durch x ersetzen.
Der Nenner ist positiv und wenn ich mit dem Nenner multipliziere kehrt sich das Ungleichkeitszeichen nicht um.

ich habe das mal durchgerechnet und so aufgeschrieben wie ich es gelernt habe.
Allerdings weiss ich nicht, ob es richtig ist...


blob.png

Text erkannt:

\( \frac{3|x|-14}{x-3} \leq 4 \)
Betrags betrach tung:
\( |x|=\left\{\begin{array}{ll}x & \text { für } x \geq 0 \\ -(x) & \text { cir } x<0\end{array}\right. \)
\( \left.\frac{1.7 .4}{2.7211: x<0}\right\} \quad|x|=\left\{\begin{array}{c}x \quad \text { for } x \geq 0 \\ f_{4}(x) \text { fer } x^{2} 0\end{array}\right. \)
2. Fall :
\( \begin{array}{rl}\frac{-3 x+14}{x-3} \leq 4 \mid \cdot x-3 & 2 \\ \Leftrightarrow-3 x-14 \leq 4 x-12|+12|+3 x \\ \Leftrightarrow-2 \leq 7 x \mid: 7 & \Rightarrow 4,=-\frac{2}{7} \leq x<0 \\ -\frac{2}{7} \leq x & 4,=\left[-\frac{2}{7} ; [0\right.\end{array} \)



blob.png

Text erkannt:

\( \frac{3|x|-14}{x-3} \leq 4 ; \quad \partial_{f}=1 R \backslash\{+3\} ; x-3 \neq 0 \)
Betrachery ous Bruch (Nenne)
(Betragssticle werder with becklet) \( \frac{3 x-14}{x-3} \leq 4=\left\{\begin{array}{l}3 x-444<4(x-5) \text { for } x-3>0 \\ 3 x-14 x>4(x-3) \text { fer } x-3<0\end{array}\right. \)
\( \left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{rl}1 . \text { Fall } & x-3>0 \\ x-3 & >0 \\ \Leftrightarrow & x>+3\end{array}\right\} \quad \frac{3 x-14}{x-3} \leq 4=\left\{\begin{array}{l}3 x-14<4(x-1) \text { for } x>3 \\ 2 x_{4} u: x-3<0 \\ \Leftrightarrow x<3\end{array}\right.\end{array}\right\} \)
Losungonengen:
1. Fall: \( \quad x>3 \)
\( \frac{3 x-14}{x-3} \leq 4 \quad \mid \cdot x-3 \)
\( =73 x-14 \leq 4 x-12,4=>-2 \leq x>3 \quad U_{3}=[-2 ; [3 \)
\( -2 \leq x \)
- Fall: \( x<3 \)
\( \begin{array}{ll}(\cdots) & u_{4}=>-2\left\langle x<3 \quad U_{h}=\right]-2 ; [3\end{array} \)
\( k_{1} \cup u_{2} \cup u_{3} \cup u_{4} \)
\( \ln |x| \frac{x y}{\cos } \cdot \tan (x)=2 \leq x>3 ;-2 x<3 \)

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