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Hallo :)


ich habe zwei Aufgaben, die mir Probleme bereiten:

1) Ich soll eine Reihe auf Konvergenz untersuchen. Das Problem ist nur, dass die Folge rekursiv definiert ist. \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{an} \)  mit a0=1  und an+1=\( \frac{an}{2(1+an^2)} \)  .Hier habe ich zuerst an das Quotientenkriterium gedacht, aber dafür müsste ich ja auch einen festen Ausdruck für an haben. Wie gehe ich hier am besten vor?

2) Sei (xn)n∈ℕ eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Und f:ℝ→ℝ eine Funktion, für die die Folge (f(xn))n∈ℕ konvergiert. Dann konvergiert die Folge (xn)n∈ℕ, wenn:

a) f stetig und injektiv ist

b) f stetig und surjektiv ist

c) f bijektiv ist.

Hier fällt mir einfach kein Satz ein, der mir bei der Entscheidung helfen könnte :/ Hat jemand einen Tipp?

von

Hallo,

für 1), denk mal über

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2(1+a_n^2)}$$

nach. Wie könnte das größer als 1 werden?

Gruß

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Beste Antwort

1. Negativ wird der Quotient nie, also kannst du den Betrag weglassen und betrachtest:

an+1/an =  (  an / ( 2*( 1+an2)) ) / an =  1   / ( 2*( 1+an2)) ) #

1+an2 ist immer größer oder gleich 1, also

ist der Nenner von # immer größer oder gleich 2. Es gibt also

ein q aus ]0;1[ ( nämlich q=1/2 ) mit an+1/an ≤ q für alle n∈ℕ.

Also ist die Reihe konvergent.

von 271 k 🚀

Ah, danke :)


Bei der Zwei bin ich mir jetzt mittlerweile sehr sicher, dass ich auf jeden Fall Stetigkeit brauche. Nur weiß ich nicht, warum ich außerdem Inaktivität oder Subjektivität benötige.

warum ich außerdem Inaktivität oder Subjektivität benötige.


Dir ist schon klar, dass die Autokorrekturfunktion von Smartphones mathematisch äußerst ungebildet ist?

Oh das ist mir nicht aufgefallen. Tut mir leid.

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