Finden Sie eine umkehrbare Funktion ˜f

Question

Seien \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \) und \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x+1 \)

a) Finden Sie eine umkehrbare Funktion \( \tilde{f}, \) deren Abbildungsvorschrift gerade der der Funktion \( f \) entspricht, jedoch Definitions- und Zielbereich aus offenen Intervallen bestehen.

b) Sei \( \tilde{g}:(a-1, b-1) \rightarrow(a, b), x \mapsto x+1, \) wobei \( (a, b) \) gerade dem Definitionsbereich der von Ihnen gefundenen Funktion \( \hat{f} \) entspricht. Bestimmen Sie die Funktion \( \tilde{h}=\tilde{f} \circ \tilde{g} \) und geben Sie sie in konkreter Form wie bei der Definition von \( f \) und \( g \) an.

c) Bestimmen Sie die Funktion \( \tilde{h}^{-1} \) und geben Sie sie in konkreter Form wie bei der Definition von \( f \) und \( g \) an.

Answer 1

a) \(\tilde{f}: (0,1)\to (0,1)\)

b) \(\tilde{h}(x) = \left(\tilde{f}\circ\tilde{g}\right)(x) = \tilde{f}\left(\tilde{g}(x)\right) = (x+1)^2\)

Wegen \(a = 0,b=1\) ist

        \(\tilde{h}(x): (-1, 0)\to(0,1),x\mapsto (x+1)^2\)