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Was ist die lokale Extremstelle von 4ln(x)/x?

Die kritische Stelle ist x=e

Mit dem Vorzeichenwechselkriterium habe ich überprüft dass es extremstellen gibt. Stimmt es dass die bei f(e)=1,47 liegt?

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Aloha :)f(x)=(4lnxx)=41xxlnx1x2=41lnxx2f'(x)=\left(4\,\frac{\ln x}{x}\right)'=4\,\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=4\,\frac{1-\ln x}{x^2}Die kritische Stelle ist x=ex=e, das ist korrekt.f(x)=(41lnxx2)=41xx2(1lnx)2xx4=4x2x+2xlnxx4f''(x)=\left(4\,\frac{1-\ln x}{x^2}\right)'=4\,\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\ln x)2x}{x^4}=4\,\frac{-x-2x+2x\ln x}{x^4}f(x)=4(2lnx3x)x3f(e)=4(23e)e3<0\phantom{f''(x)}=\frac{4(2\ln x-3 x)}{x^3}\quad\Rightarrow\quad f''(e)=\frac{4(2-3e)}{e^3}<0Bei x=ex=e liegt mit f(e)=4e1,4715f(e)=\frac{4}{e}\approx1,4715 also ein Maximum vor.

Avatar von 153 k 🚀

ob es ein Maximum oder Minimum ist hast du ja mit der 2.Ableitung überprüft. wie kann man das denn mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüfen? wenn ich z.B. nicht die 2.Ableitung bilden kann/will.

Im Ableitungstermf(x)=41lnxx2f'(x)=4\,\frac{1-\ln x}{x^2}ist der Nenner, wegen x2>0x^2>0 immer positiv. Das Vorzeichen der Ableitung hängt also nur vom Zähler ab.

Für x<ex<e gilt:lnx<lne=1lnx>11lnx>0\ln x<\ln e=1\quad\Rightarrow\quad-\ln x>-1\quad\Rightarrow\quad1-\ln x>0Für x>ex>e gilt:lnx>lne=1lnx<11lnx<0\ln x>\ln e=1\quad\Rightarrow\quad-\ln x<-1\quad\Rightarrow\quad1-\ln x<0Bei x=ex=e wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen. Für x<ex<e steigt die Funktion an, für x>ex>e fällt sie ab. Also liegt bei x=ex=e ein Maximum.

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Hallo,

Es liegt ein Maximum im Punkt (e/1.4715) vor.

Avatar von 121 k 🚀

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