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Was ist die lokale Extremstelle von 4ln(x)/x?

Die kritische Stelle ist x=e

Mit dem Vorzeichenwechselkriterium habe ich überprüft dass es extremstellen gibt. Stimmt es dass die bei f(e)=1,47 liegt?

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Aloha :)$$f'(x)=\left(4\,\frac{\ln x}{x}\right)'=4\,\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2}=4\,\frac{1-\ln x}{x^2}$$Die kritische Stelle ist \(x=e\), das ist korrekt.$$f''(x)=\left(4\,\frac{1-\ln x}{x^2}\right)'=4\,\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\ln x)2x}{x^4}=4\,\frac{-x-2x+2x\ln x}{x^4}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{4(2\ln x-3 x)}{x^3}\quad\Rightarrow\quad f''(e)=\frac{4(2-3e)}{e^3}<0$$Bei \(x=e\) liegt mit \(f(e)=\frac{4}{e}\approx1,4715\) also ein Maximum vor.

von 128 k 🚀

ob es ein Maximum oder Minimum ist hast du ja mit der 2.Ableitung überprüft. wie kann man das denn mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüfen? wenn ich z.B. nicht die 2.Ableitung bilden kann/will.

Im Ableitungsterm$$f'(x)=4\,\frac{1-\ln x}{x^2}$$ist der Nenner, wegen \(x^2>0\) immer positiv. Das Vorzeichen der Ableitung hängt also nur vom Zähler ab.

Für \(x<e\) gilt:$$\ln x<\ln e=1\quad\Rightarrow\quad-\ln x>-1\quad\Rightarrow\quad1-\ln x>0$$Für \(x>e\) gilt:$$\ln x>\ln e=1\quad\Rightarrow\quad-\ln x<-1\quad\Rightarrow\quad1-\ln x<0$$Bei \(x=e\) wechselt die erste Ableitung ihr Vorzeichen. Für \(x<e\) steigt die Funktion an, für \(x>e\) fällt sie ab. Also liegt bei \(x=e\) ein Maximum.

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Hallo,

Es liegt ein Maximum im Punkt (e/1.4715) vor.

von 117 k 🚀

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