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Aufgabe:

Die reellwertige Zufallsvariable X habe eine absolut stetige Verteilung mit Dichte
fX : R → [0,∞),
fX(x) = 3/2 x2(x+1) * 1[-1,1](x) 

Bestimmen + Zeichnen der Veteilungsfunktion Fx von X, Berechnen von Var, E


Problem/Ansatz:


mich verwirrt die ganze Aufgabe etwas. Vor allem das 1[-1,1](x). Kann mir jemand die Vorgehensweise erklären?

von

Hallo,

das \(1_{[-1,1]}(x)\) wird wohl die "charakteristische Funktion" des Intervalls \([-1,1]\) bezeichnen. Diese Funktion nimmt auf dem Intervall \([-1,1]\) den Wert 1 an und für alle anderen Argumente den Wert 0.

Gruß

In der Lösung wurde es so angegeben:


Fx(t) = { 0    -->     t < -1; 3/8 (t4+1) + 1/2 (t3 -1)   --> -1  ≤ t < 1; 1     --> 1 ≤ t}

ich kann hier aber nicht nachvollziehen wie er auf das mittlere gekommen ist. Offensichtlich arbeitet man ja bei absolut stetigem Wahrscheinlichkeitmaß mit Integralen. Wenn ich aber fx(x) = 3/2 x2(x+1) aufleite kommt bei mir 3/8 x4 + 1/2 x3 raus. Es besteht offensichtlich eine Ähnlichkeit mit dem Ergebnis aber irgendwie peile ich da nicht ganz durch.

ich meinte Fx(t)

1 Antwort

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Hallo,

die Verteilungsfunktion ist ja so definiert: \(F(t)=\int_{-\infty}^t f(x) dx\). Für \(t<-1\) ist im gesamten Integrationsbereich die Dichte \(f\) gleich 0, das Integral liefert also 0. Für \(t \in [-1,1]\) tragen die x-Werte mit \(x<-1\) nichts zum Integral bei, man hat also

$$F(t)=\int_{-\infty}^t f(x) dx=\int_{-1}^t f(x) dx=\left. \frac{3}{8}x^4+\frac{1}{2}x^3 \right|_{x=-1}^t$$

$$=\frac{3}{8}(t^4-1)+\frac{1}{2}(t^3+1).$$

Für \(t>1\) tragen die x-Werte mit \(x>1\) nichts bei und es bleibt bei \(F(t)=1\).

Wie Du siehst, weicht meine Lösung von Deiner ab. Fehler beim Abschreiben? Fehler in der Musterlösung? Mein Fehler? Letzteres scheint mir unwahrscheinlich, weil meine Lösung eine stetige Verteilungsfunktion liefert.

Gruß

von 10 k

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