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Aufgabe:

Definition Konvexität …


Problem/Ansatz:

! Gegeben ist folgende Definition zur Konvexität einer Funktion:

Es sei D ⊂  ℝ ein Intervall. Eine Funktion f: D → ℝ heißt konvex, falls für alle x1,x2 ∈ D und alle 0 < λ < 1 immer gilt:

f( λx1 + (1- λ)x2) ≤  λf(x1)+(1- λ)f(x2)

Nun zu meinem Problem: Das eine Funktion f: D → ℝ konvex ist, bedeutet ja, dass ich zwei beliebige Punkte f(x1) und f(x2) mit x1 und x2 ∈ D durch eine Sekante miteinander verbinden kann und für jeden Punkt x3 ∈[x1,x2] gilt: f(x3) befindet sich unter dieser Sekante oder liegt genau auf dieser Sekante. Wenn man die Anschauung unten betrachtet, dann stellt x3 ja irgendeine Zahl zwischen x und y dar, die sich darstellen lässt als xt+(1-t)y. Hier meine erste Frage: wie genau kommt man darauf, dass jede Zahl zwischen x und y genau so darstellbar ist? Dann zu meiner zweiten Frage: Es scheint ja der Fall zu sein, dass man mit tf(x)+(1-t)f(y) immer einen Punkt trifft, der denselben Wert auf der X-Achse hat, wie f(xt+y(1-t)) und der zusätzlich auf der Sekante liegt, die f(x) und f(y) verbindet. Weshalb ist das so?


!


Bildschirmfoto 2020-08-07 um 21.02.28.png

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xt+(1-t)y

Sei o.B.d.A x < y.

Ist t < 0, dann ist

        tx + (1-t)y = tx + y - ty = t(x-y) + y > y

wegen t(x-y) > 0.

Ist t > 1, dann ist

        tx + (1-t)y = tx + y - ty = t(x-y) + y < 1(x-y) + y = x

wegen x-y < 0.

Sei z ∈ ℝ mit x < z < y. Wähle t = (y-z) / (y-x). Dann ist

        0 < t < 1

wegen y-z > 0, y-x> 0 und y-z < y-x. Außerdem ist dann

        z = tx + (1 - t)y

wie man durch Einsetzen nachrechnen kann..

tf(x)+(1-t)f(y)

Setze t = (y-z) / (y-x) ein. Dann bekommst du nach einigen Umformungen den Funktionsterm einer linearen Funktion in z, die an der Stelle x den Funktionswert f(x) und an der Stelle y den Funktionswert f(y) hat.

von 94 k 🚀

Wow, der absolute Hammer :D Vielen vielen Dank Oswald!

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