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Aufgabe:

Sei F:ℝn->ℝm.     

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6  \end{pmatrix} \)

Bestimme Sie jeweils Basen von Kern(F) und Bild (F)

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Zeilenstufenform$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6  \end{pmatrix}\overset{\text{II}-4\text{I}}{\leadsto}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6  \end{pmatrix}$$ Wähle \(x_3:=t\in \mathbb{R}\), dann gilt:$$-3x_2-6x_3=0 \Rightarrow x_2=-2t \\ x_1+2x_2+3x_3=0 \Rightarrow x_1=-2x_2-3x_3=4t-3t=t$$ Damit gilt:$$\ker F=\left \{t\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} : t\in \mathbb{R}\right\}$$ Für das Bild gilt:$$\operatorname{Bild}(F)=\left \langle \begin{pmatrix} 1\\4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\5 \end{pmatrix}\right \rangle$$

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