Definition der Konvexität

Question

Es gibt die äquivalente Definition der Konvexität : f : I →R konvex :⇐⇒∀x1,x2 ∈ I mit x1 < x2 und ∀λ ∈ (0,1) gilt f(λx1 + (1−λ)x2) ≤ λf(x1) + (1−λ)f(x2). Beweisen Sie die Konvexität der Funktion f : R→R mit f(x) = x(x−1), x ∈R, indem Sie diese Form der Definition der Konvexität benutzen.

Comments

Der naive Ansatz wäre, den Funktionsterm auf die Ungleichung

    f(λx₁ + (1−λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1−λ)f(x₂)

anzuwenden und die so etnstandene Ungleichung zu beweisen. Hast du das schon versucht?

Übrigens, in Worten ausgedrückt besagt die Definition, dass eine Funktion auf einem Intervall [a,b] genau dann konvex ist, wenn auf jedem Teilintervall [x₁,x₂] ⊂ [a,b] der Funktionsgraph unterhab der Geraden durch die Punkte (x1, f(x₁)) und (x₂, f(x₂)) verläuft.

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Ja, habe ich leider schon. Bin damit aber auch nicht weiter gekommen.

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Hast du dabei die Einschränkung λ ∈ (0,1) beachtet? Zeig mal wie weit du gekommen bist.