Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert

Question

Aufgabe:

4.

Gegeben sei 3-maliger Münzwurf mit Ω = {0, 1}³ . Wir definieren 1 als Kopf und 0 als Zahl. Sei X_i das
Ergebnis des i-ten Wurfes.

a) Bestimmen sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X1 + X2 + X3.

b) Bestimmen sie E[X1 + X2 + X3]

Problem/Ansatz:

Wie genau löst man diese Aufgabe? Ich weiß zwar wie man die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert berechnet, aber bei dieser Aufgabenstellung weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Wir stellen die möglichen Ergebnisse und die gesuchte Summe tabellarisch dar:$$\begin{array}{c}X_1 & X_2 & X_3 & X_1+X_2+X_3\\\hline 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1 & 2\\1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 2\\1& 1 &1 & 3\end{array}$$Daraus können wir die Einzelwahrscheinlichkeiten bzw. die Wahrscheinlichkeitsverteilung ablesen:$$p(X_1+X_2+X_3=0)=\frac{1}{8}$$$$p(X_1+X_2+X_3=1)=\frac{3}{8}$$$$p(X_1+X_2+X_3=2)=\frac{3}{8}$$$$p(X_1+X_2+X_3=3)=\frac{1}{8}$$Der Erwartungswert beträgt daher:$$E(X_1+X_2+X_3)=\frac{1}{8}\cdot0+\frac{3}{8}\cdot1+\frac{3}{8}\cdot2+\frac{1}{8}\cdot3=\frac{3}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

Comments

Vielen Dank!