Bedingungen in einer ganzrationalen Funktion

Question

baruche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Funktion f habe bei 1 eine Nullstelle und c und d seien aus der Menge der Reellen Zahlen.Welche Bedingungen müssen c und d erfüllen? Geben sie weiter die Bedingungen für c und d an, damit f keine (eine,zwei) Nullstellen hat.

f(x)=2x^3+2x^2+cx+d


DANKE!

Answer 1

x₁ = 1  sei Nullstelle von  f. Daraus folgt  c = -4 - d.
Polynomdivision liefert  f(x) = (2x² + 4x - d)·(x - 1).
Weitere mögliche Nullstellen ergeben sich aus der Lösung der Gleichung
2x² + 4x - d = 0. Es ist  x_2;3 = -1 ± √(1 + d/2).
Fall 1:  d < -2. Keine weiteren reellen Nullstellen.
Fall 2:  d = -2. Genau eine weitere Nullstelle  x₂ = x₃ = -1.
Fall 3:  d > -2. Zwei weitere Nullstellen, falls  d ≠ 6, sonst genau eine weitere Nullstelle  x₃ = -3, x₂ = x₁.