Aloha :)
Über das Krümmungsverhalten gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft. Daher brauchen wir zunächst die zweiten Ableitungen:F1′(x)=31x3+x2+1;F2′(x)=−48x3−x2−2xF1′′(x)=x2+2x;F2′′(x)=−144x2−2x−2Um nun die Vorzeichen bestimmen zu können, formen wir die 2-ten Ableitungen etwas um:
F1′′(x)=x(x+2)F2′′(x)=−144(x2+1442x)−2F2′′(x)=−144(x2+1442x+(1441)2−(1441)2)−2F2′′(x)=−144(x2+1442x+(1441)2)+144⋅(1441)2−2F2′′(x)=−144(x+1441)2+1441−2F2′′(x)=−144(x+1441)2−144287Jetzt können wir die Vorzeichen ablesen.
F1′′(x) ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben:x>0∧x+2>0⇒x>0∧x>−2⇒x>0x<0∧x+2<0⇒x<0∧x<−2⇒x<−2Damit ist klar:F1(x) ist ⎩⎪⎨⎪⎧links gekru¨mmtnicht gekru¨mmtrechts gekru¨mmtfu¨rfu¨rfu¨rx<−2∨x>0x=−2∨x=0−2<x<0In der folgenden Abbildung sind die Wendepunkte eingezeichnet:
Plotlux öffnen f1(x) = x4/12+x3/3+xP(0|0)P(-2|-3,33)Zoom: x(-5…3) y(-6…5)
F2′′(x) ist für alle x∈R negativ, daher ist F2(x) immer rechtsgekrümmt.
Plotlux öffnen f1(x) = -12x4-x3/3-x2Zoom: x(-1…1) y(-5…0)