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Aufgabe: Bestimmen Sie die Bereiche in denen der Graph von f links - bzw. rechtsgekrümmt istF(x)=112x4+13x3+xF(x)=12x413x3x2 F(x)=\frac 1{12}x^4+ \frac 13 x^3+x\\ F(x)=-12x^4- \frac 13 x^3-x^2

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Linkskrümmung: Zweite Ableitung positiv,

Rechtskrümmung: Zweite Ableitung negativ.

:-)

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Aloha :)

Über das Krümmungsverhalten gibt das Vorzeichen der zweiten Ableitung Auskunft. Daher brauchen wir zunächst die zweiten Ableitungen:F1(x)=13x3+x2+1;F2(x)=48x3x22xF_1'(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+1\quad;\quad F_2'(x)=-48x^3-x^2-2xF1(x)=x2+2x;F2(x)=144x22x2F_1''(x)=x^2+2x\quad;\quad F_2''(x)=-144x^2-2x-2Um nun die Vorzeichen bestimmen zu können, formen wir die 2-ten Ableitungen etwas um:

F1(x)=x(x+2)F_1''(x)=x(x+2)F2(x)=144(x2+2144x)2F_2''(x)=-144\left(x^2+\frac{2}{144}x\right)-2F2(x)=144(x2+2144x+(1144)2(1144)2)2\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x^2+\frac{2}{144}x+\left(\frac{1}{144}\right)^2-\left(\frac{1}{144}\right)^2\right)-2F2(x)=144(x2+2144x+(1144)2)+144(1144)22\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x^2+\frac{2}{144}x+\left(\frac{1}{144}\right)^2\right)+144\cdot\left(\frac{1}{144}\right)^2-2F2(x)=144(x+1144)2+11442\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x+\frac{1}{144}\right)^2+\frac{1}{144}-2F2(x)=144(x+1144)2287144\phantom{F_2''(x)}=-144\left(x+\frac{1}{144}\right)^2-\frac{287}{144}Jetzt können wir die Vorzeichen ablesen.

F1(x)F_1''(x) ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren dasselbe Vorzeichen haben:x>0x+2>0x>0x>2x>0x>0\quad\land\quad x+2>0\quad\Rightarrow\quad x>0\quad\land\quad x>-2\quad\Rightarrow\quad x>0x<0x+2<0x<0x<2x<2x<0\quad\land\quad x+2<0\quad\Rightarrow\quad x<0\quad\land\quad x<-2\quad\Rightarrow\quad x<-2Damit ist klar:F1(x) ist {links gekru¨mmtfu¨rx<2  x>0nicht gekru¨mmtfu¨rx=2  x=0rechts gekru¨mmtfu¨r2<x<0F_1(x)\text{ ist }\left\{\begin{array}{l}\text{links gekrümmt} & \text{für} & x<-2\;\lor x>0\\\text{nicht gekrümmt} & \text{für} & x=-2\;\lor x=0\\\text{rechts gekrümmt} & \text{für} & -2<x<0\end{array}\right.In der folgenden Abbildung sind die Wendepunkte eingezeichnet:

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f1(x) = x4/12+x3/3+xP(0|0)P(-2|-3,33)Zoom: x(-5…3) y(-6…5)

F2(x)F_2''(x) ist für alle xRx\in\mathbb R negativ, daher ist F2(x)F_2(x) immer rechtsgekrümmt.

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f1(x) = -12x4-x3/3-x2Zoom: x(-1…1) y(-5…0)

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