Wie groß ist die Abschussgeschwindigkeit?

Question

Ein Bogenschütze schießt seinen Pfeil testweise senkrecht nach oben. Die Steighöhe kann durch die Funktion h(t) = 60t - 5t^2 erfasst werden.

t: Zeit in Sekunden; h: Höhe in Metern

a) Wie groß ist die Abschussgeschwindigkeit?

b) Welche Gipfelhöhe wird erreicht? Wie lange fliegt der Pfeil bis zum Gipfelpunkt?

c) Wann ist die Geschwindigkeit des Pfeils auf ca. 100km/h gesunken?

d) In einem zweiten Versuch schießt der Schütze fast horizontal ab. Die Flugbahn lautet nun f(x) = 1,70 + 0,035x - 0,0005x^2.

Wie groß ist der Abschusswinkel Alpha? Welche Maximalhöhe erreicht der Pfeil?

Trifft er das Ziel, eine Kreisscheibe mit 10cm Durchmesser und den Mittelpunkt M(80/1,34)?

Answer 1

a) Wie groß ist die Abschussgeschwindigkeit?

h'(t) = 60 - 10·t
h'(0) = 60 m/s

b) Welche Gipfelhöhe wird erreicht? Wie lange fliegt der Pfeil bis zum Gipfelpunkt?

h'(t) = 60 - 10·t = 0 → t = 6 s
h(6) = 60·6 - 5·6^2 = 180 m

c) Wann ist die Geschwindigkeit des Pfeils auf ca. 100 km/h gesunken?

100 km/h = 100/3.6 m/s
h'(t) = 60 - 10·t = 100/3.6 → t = 29/9 s = 3.222 s

d) Wie groß ist der Abschusswinkel Alpha?

f'(x) = 0.035 - 0.001·x
f'(0) = 0.035
α = ARCTAN(0.035) = α = 2.005°

e) Welche Maximalhöhe erreicht der Pfeil?

f'(x) = 0.035 - 0.001·x = 0 → x = 35
f(35) = 1.7 + 0.035·35 - 0.0005·35^2 = 2.3125 m

f) Trifft er das Ziel, eine Kreisscheibe mit 10 cm Durchmesser und den Mittelpunkt M(80 | 1.34)?

f(80) = 1.7 + 0.035·80 - 0.0005·80^2 = 1.30 m → Damit wird die Kreisscheibe 4 cm unterhalb des Mittelpunktes getroffen.

Answer 2

V0= 60 m/s, steht doch in der Gleichung

Answer 3

a) Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung.

Also ist f'(0) gesucht.

b) Die Gipfelhöhe ist beim Maximum erreicht. Akso musst du die erstw Ableitung Null setzen, t bestimmen und den gefundenen Wert in f(t) einsetzen.

c) 100km/h=100/3,6 m/s=f'(t)

Damit t berechnen.

d) f'(0)=tanα

Maximalhöhe mit 1. Ableitung

Ziel getroffen? |f(80)-1,34|≤0,1 überprüfen.

Answer 4

Ein Bogenschütze schießt seinen Pfeil testweise senkrecht nach oben. Die Steighöhe kann durch die Funktion h(t) = 60*t - 5*t^2 erfasst werden.
t: Zeit in Sekunden; h: Höhe in Metern

a) Wie groß ist die Abschussgeschwindigkeit?
b) Welche Gipfelhöhe wird erreicht? Wie lange fliegt der Pfeil bis zum Gipfelpunkt?
Am Hochpunkt der Funktion ist die 1.Ableitung = Geschwindigkeit = 0 m/s

h(t) = 60*t - 5* t^2
h ´( t ) = 60 - 10 * t
60 - 10 * t = 0
t = 6 sec
h ( 6 ) = 60 * 6 - 5 * 6^2
h ( 6 ) = 180 m

h ´( 0 ) = 60 - 10 * 0
v ( 0 ) = 60 m/s

c.)
100km/h = 100000 m / 3600 sec = 2.777777 m/sec
h ´( t ) = v ( t ) =  27.77777 = 60 - 10 * t
t = 3.222 sec

d) In einem zweiten Versuch schießt der Schütze fast horizontal ab. Die Flugbahn lautet nun f(x) = 1,70 + 0,035x - 0,0005x^2.

Wie groß ist der Abschusswinkel Alpha?
f ´( x) = 0.035 - 0.001 * x
f ´( 0) = 0.035
alpha = arctan(0.035  ) = 0.035 ( bogenmass )
2.01 °

Welche Maximalhöhe erreicht der Pfeil?

f ´( x ) = 0 ( maximum )
0.035 - 0.001 * x = 0
bei x = 35 meter ist die Maximalhöhe erreicht
f ( 35 ) = 2.31 m

Trifft er das Ziel, eine Kreisscheibe mit 10cm Durchmesser und den Mittelpunkt M(80/1,34)?

f ( 80 ) = 1.3 m
1.29 < x < 1.39