Die n-te Wurzel aus n ist irrational

Question

Liebe Lounge,

ich habe beweisen (mithilfe der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen), dass \( \sqrt[k]{n} \) entweder einer natürliche Zahl ist oder eine irrationale Zahl.

Jetzt habe ich gelesen, dass mit diesem Wissen folgendes direkt klar sein müsste (was es mir aber nicht ist):

Die \( \sqrt[n]{n} \) ist eine irrationale Zahl.

Wie genau kann das unmittelbar aus der Erkenntnis des Obigen gewonnen werden?

Vielen Dank!

Comments

Meine Idee ist die folgende:

Seien n, a ∈ N und n,a ≥ 2.

Nun nehme ich an, es wäre möglich, folgende Gleichheit zu erzeugen:

n = aⁿ . Nun sei p eine Primzahl und e_n und e_a seien zunächst die Vielfachheiten der jeweiligen Primzahl in n und a.

Es gilt also:

e_n= n • e_a

Jetzt tritt allerdings die Besonderheit auf, dass die Vielfachheit e_a wieder mit n multipliziert wird.

An dieser Stelle habe ich das Gefühl, dass der Widerspruch nicht mehr weit entfernt ist, ich komme aber nicht darauf.

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n = a^n

a^n - n = 0

Nehmen wir mal das kleinste a

2^n - n = 0

Würde es hier eine Lösung geben

Wie ist es wenn a größer wird

3^n - n = 0

4^n - n = 0

...

Kann es jetzt eine Lösung geben?

Answer 1

Wenn du die gegebene Aussage verwendest ist doch klar:

n-te Wurzel aus n ist

entweder eine nat. Zahl oder irrational.

nat. Zahl kann aber nicht sein, denn dann müsste es eine nat. Zahl k geben

mit k^n = n  #.

k muss also alle Primfaktoren von n enthalten. Insbesondere

wäre also k ≥2. Und damit k^n ≥ 2^n > n .

Im Widerspruch zu #

Comments

Lieber mathef,

zwei Dinge sind mir nicht ganz klar:

1.

k muss also alle Primfaktoren von n enthalten. Insbesondere

wäre also k ≥2. Und damit kⁿ ≥ 2ⁿ > n .

Was hat der untere Schluss mit der Tatsache der Primfaktoren zu tun?

2. Warum gilt ohne weiteren Beweis 2ⁿ > n ? Und wenn das gilt, dann bräuchte man die Eigenschaft mit den Primfaktoren ja gar nicht für die Argumentation oder?

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Es müsste doch eigentlich ausreichen das folgende zu zeigen:

wäre also k ≥2. Und damit kⁿ ≥ 2ⁿ > n .

Mein Vorschlag wäre vollständige Induktion:

z.Z. 2ⁿ > n

IA: 2² = 4 > 2  Die Behauptung gilt für n = 2.

Induktionsannahme: Die Behauptung gilt für ein beliebiges n.

Induktionsbehauptung: Die Behauptung gilt für n+1.

Induktionsschritt:

2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ •2 >n•2>n+1    qed.

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Ja, so geht es wohl auch. Denn wenn das k eine nat. Zahl ist, dann muss ja

k≥2 gelten, da es 1 nicht sein kann; denn 1^n ist immer gleich 1.