Punkte bei einer Ebene bestimmen und eine Pyramide bilden

Question

Hi Leute heute Mal wieder eine schwere Aufgabe:

Gegeben ist folgende Ebene:

$$E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\6 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2\\1\\2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$$

Nun soll ich die Punkte X, Y und Z bestimmen, in denen die Ebene E von Koordination Achsen durchstoßen wird. Diese bilden nämlich mit dem Koordinatenursprung eine Pyramide. Auch muss ich das Volumen bestimmen.

Dazu dachte ich, dass ich erstmals die Ebene von der Normalenform in die Koordinatengleichung umformen. Dort setze ich zum Beispiel wenn wir Punkt X berechnen wollen, für y und z gleich 0 umso den Wert von x rausbekommen und letztlich den Punkt X. Ist das so richtig oder muss man dass anders machen?

VG

Comments

Das Bild zur Aufgabe:

Das Volumen der Pyramide ist 72 VE.

Answer 1

Hallo

so kannst du es machen, oder jeweils r und s so bestimmen dass z.B z =0 und y=0

zB. z=0  r=-3 s beliebig dann y=0 also -1-3-s=0 also s=4

mit dem r uns s dann x ausrechnen .

Aber deine Methode is ja auch gut ausgedacht, ich erwähn die zweite nur .

da du ja auch den Abstand = höhe deiner Pyramide brauchst, schreib die Koordinatengleichung gleich in der Hesseschen Normalform.

Gruß lul

Answer 2

Du kannst auch - z.B. mit der x-Achse - den Schnittpu. so bestimmen:

$$\begin{pmatrix} x\\0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\6 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2\\1\\2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}$$

also

0 = -1 + r - s  und  0 = 6 + 2r

==>                       r=-3

und damit  s=-4

also x = 6

Somit Punkt (6;0;0).