Nullstellenberechnung im R2

Question

Hat die Funktion f(x,y)=xy nur Nullstellen für x=y=0 oder hat sie unendlich viele?

Also kann ich für x bzw. y beliebige Werte annehmen?

Freundliche Grüße :-)

Answer 1

Es kommt auf die Funktion an.

Die Funktion f(x,y)= x+y

hat auch unendlich viele Nullstellen,

f(0;0) =0 ; doch es gilt auch mit

y=-x wird f(x;y)=0

Die Funktion g(x ) = x* $e^{y}$ hat hingegen nur bei x=0 eine Nullstelle, doch es sind unendlich viele, da y ja beliebig sein kann.

Die Funktion h(x;y) = $x^{y}$

hat unendlich viele Nullstellen, wenn x=0,

Doch h(0;0)=1 so sagte es zumindest Leibniz.

Comments

Die Funktion f(x,y) = xy war doch gegeben.

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Super. Auch Ihnen vielen Dank für die Antwort, Hogar :-)

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@Mathecoach

stimmt, doch ich wollte es trotzdem loswerden, aber bei der Gelegenheit kann ich ja mal fragen, ob der alte Leibniz nach heutiger Sicht recht hat denn Wikipedia behauptet, dass

$0^{0}$ =0

Leiniz sagt

$0^{0}$ =1

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$0^0$ ist nicht definiert.

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Also ist die Definition von Leibniz nicht mehr gültig.

https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=2500375931829356481

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Nein, sie ist nicht gültig. Diese Festlegung birgt Widersprüchlichkeiten. Daher lässt man 0⁰ undefiniert.

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$x^0=1$ für $x>0$

$0^x=0$ für $x>0$

Für $x\to0$ ist die Grenzwertbildung offensichtlich schwierig.

Als Kompromiss könnte man sich auf $0^0=\frac{1}{2}$ einigen ;)

Die Vereinbarung $0^0=1$ wird manchmal in Vorlesungen getroffen, weil sie insbesondere den Umgang mit Potenzreihen vereinfacht. Als Begründung kann man folgende Idee anführen:

Wegen $a^x=e^{x\ln a}$ für $a>0$ ist $x^x=e^{x\ln x}$ für $x>0$:

$$0^0=\lim\limits_{x\searrow0}e^{x\ln x}=e^0=1$$Aber als $0^x$ würde ich mich hier diskriminiert fühlen ;)

Ich habe mir damals gemerkt, dass bei Potenzreihen implizit $0^0=1$ angenommen wird, aber $0^0$ explizit nicht definierbar ist.

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Das ist scheinbar ein Bereich der Mathematik, in dem es kein richtig oder falsch gibt, je nach Sichtweise ist $0^{0}$ = 1 oder nicht definiert. Definitionen sind scheinbar nicht in Stein gemeißelt, sondern sind auch abhängig vom Zweck und den Agierenden.

Vielen Dank für die Info.

Answer 2

Aloha :)

Die Funktion $f(x,y)=x\cdot y$ hat unendlich viele Nullstellen. Es reicht bei einem Produkt ja völlig aus, wenn bereits einer der beiden Faktorn null ist. Die Nullstellen sind daher:$$(x,0)\quad\text{mit}\quad x\in\mathbb R$$$$(0,y)\quad\text{mit}\quad y\in\mathbb R$$Oder als Menge geschrieben:$$M_0=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\left|\,x=0\,\lor\,y=0\right.\}$$

Comments

Super. Vielen Dank für die Antwort, Tschakabumba :-)