Eindeutig invertierbare nxn-Matrix? und M*M^{-1} = M^{-1}*M

Question

Aufgabe:

Sei \( M \) eine invertierbare \( n \times n \) -Matrix über \( K . \) Das heißt, es existiert eine Matrix \( M^{-1} \), so dass

\( M \cdot M^{-1}=1_{M_{n, n}}(K) \)

i) Zeigen Sie, dass

\( M \cdot M^{-1}=M^{-1} \cdot M \)

Folgern Sie, dass \( M^{-1} \) eindeutig durch \( M \) bestimmt ist.

ii) Sind die folgenden Matrizen invertierbar über \( K=\mathbb{R} ? \)

\( M_{1}=\left(\begin{array}{lll} 4 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \quad M_{2}=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \)

Begründen Sie Ihre Antworten und bestimmen Sie gegebenenfalls das Inverse \( M_{i}^{-1} \)!

Comments

ii)

Wenn zum beispiel die Determinanten ungleich null sind dann sind die Matrizen invertierbar

Also ist M1 nicht invertierbar und M2 ist invertierbar

Det (M1) = (2-1) =1  also ungleich null somit determinierbar

2  1     |    1   0           -II Die zweite zeile       --->    1    0 | 0  0               
1  1     |    1   0                                                             1   1  | 1 0  -I                      
-->    1 0 |  0 0

         0 1  |  1 0

Also die inerse von M1 ist das was auf der rechten seite steht