Löse die Lagrange Funktion

Question

Aufgabe:

Löse die Lagrange Funktion:

L= F^0,4*C^0,6 - λ(5F+2C-240)

Was ist die Lösung für F und C?

Problem/Ansatz:

Meine Ableitungen lauten:

Lf‘= 0,4F^-0,6*C^0,6-5λ

Lc‘= F^0,4*0,6F^-0,4-2λ

Lλ‘= 5F+2C-240

Nun komme ich einfach mit dem umstellen nicht weiter und komme einfach auf kein richtiges Ergebnis.

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen die Funktion $g(F,C)$ und der Nebenbedingung $h(F,C)$ optimieren:$$g(F,C)=F^{0,4}C^{0,6}\quad;\quad h(F,C)=5F+2C-240\stackrel{!}{=}0$$Wir bilden die Gradienten:$$\operatorname{grad}(g)=\begin{pmatrix}0,4F^{-0,6}C^{0,6}\\0,6F^{0,4}C^{-0,4}\end{pmatrix}\quad;\quad\operatorname{grad}(h)=\binom{5}{2}$$Gemäß Lagrange muss die Determinante mit den Gradienten als Spaltenvektoren (oder Zeilenvektoren) verschwinden:

$$0\stackrel{!}{=}\left|\begin{array}{r}0,4F^{-0,6}C^{0,6} & 5\\0,6F^{0,4}C^{-0,4} & 2\end{array}\right|=0,8F^{-0,6}C^{0,6}-3F^{0,4}C^{-0,4}$$Wir vereinfachen die erhaltene Gleichung:

$$\left.0=0,8F^{-0,6}C^{0,6}-3F^{0,4}C^{-0,4}\quad\right|\quad\cdot C^{0,4}$$$$\left.0=0,8F^{-0,6}C-3F^{0,4}\quad\right|\quad\cdot F^{0,6}$$$$\left.0=0,8C-3F\quad\right|\quad+3F$$$$\left.3F=0,8C\quad\right|\quad\cdot\frac{5}{4}$$$$C=\frac{15}{4}F$$Diese Beziehung setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$0=5F+2C-240=5F+2\cdot\frac{15}{4}F-240=\frac{25}{2}F-240$$Damit sind wir fertig:$$F=\frac{240\cdot2}{25}=\frac{96}{5}\quad;\quad C=\frac{15}{4}F=72$$

Answer 2

Du musst ja die Ableitungen gleich Nullsetzen. Dann könntest du Lambda (bei mir k) gleichsetzen.

0.4·f^(-0.6)·c^0.6 - 5·k = 0 --> k = 0.08·c^0.6/f^0.6

0.6·f^0.4·c^(-0.4) - 2·k = 0 --> k = 0.3·f^0.4/c^0.4

Nun k gleichsetzen und z.B. nach c auflösen

0.08·c^0.6/f^0.6 = 0.3·f^0.4/c^0.4 --> c = 3.75·f

Das setzt du jetzt in die Hauptbedingung ein

5·f + 2·(3.75·f) - 240 = 0 --> f = 19.2

Nun noch c bestimmen

c = 3.75·(19.2) = 72