Bestimme alle stationären Punkte der Funktion mit Nebenbedingung mit dem Lagrange Verfahren

Question

Aufgabe:

Bestimme alle stationären Punkte der Funktion mit Nebenbedingung mit dem Lagrange Verfahren

x^2+y^2

Nebenbedingung: 5x^2+5y^2-8xy-18

Problem/Ansatz:

Lagrange: x^2+y^2+λ(5x^2+5y^2-8xy-18)

Ich weiß nicht wie ich die einzelnen Funktionen setzen soll, damit vernünftige Ergebnisse kommen.

die partiellen Ableitungen:

fx=2x+10xλ-8yλ

fy=2y+10yλ-8xλ

fλ=5x^2+5y^2-8xy-18

Ich weiß nicht wie ich die einzelnen Funktionen umstellen soll, damit vernünftige Ergebnisse kommen.

Comments

Überarbeite mal deine Frage.

Answer 1

Aloha :)$$f(x,y)=x^2+y^2\to\text{Extremum}\quad;\quad g(x,y)=5x^2+5y^2-8xy-18=0$$Nach Lagrange müssen die Gradienten von \(f\) und \(g\) parallel oder antiparallel zueiandener sein, der Lagrange-Multiplikatior \(\lambda\) ist der Proportionalitätsfaktor. Die beiden Gradienten spannen in 2 Dimensionen also keine Fläche auf, d.h. ihre Determinante muss verschwinden:

$$0\stackrel{!}{=}\text{det}\left(\begin{array}{r}\partial_x f & \partial_x g\\\partial_y f & \partial_y g\end{array}\right)=\text{det}\left(\begin{array}{r}2x & 10x-8y\\2y & 10y-8x\end{array}\right)=2x(10y-8x)-2y(10x-8y)$$$$\phantom{0}=20xy-16x^2-20xy+16y^2=16(y^2-x^2)\;\;\Rightarrow\;\; y^2=x^2\;\;\Rightarrow\;\;y=\pm x$$Wir setzen zunächst \(y=+x\) in die Nebenbedingung ein:$$0=5x^2+5x^2-8xx-18=2x^2-18\quad\Leftrightarrow\quad 2x^2=18\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm3$$Nun setzen wir \(y=-x\) in die Nebenbedingung ein:$$0=5x^2+5x^2+8x^2-18=18x^2-18\quad\Leftrightarrow\quad 18x^2=18\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm1$$Wir haben also 4 stationäre Punkte gefunden:$$(-1|1)\quad;\quad(1|-1)\quad;\quad(-3|-3)\quad;\quad(3|3)$$

Answer 2

Bestimme die Nullstellen der partiellen Ableitungen, das heißt löse das Gleichungssystem

        0 = 2x+10xλ-8yλ
        0 = 2y+10yλ-8xλ
        0 = 5x²+5y²-8xy-18.

Answer 3

fx=2x+10xλ-8yλ = 0

fy=2y+10yλ-8xλ = 0      ==>   x=y

fλ=5x^2+5y^2-8xy-18  ==>  5x^2+5x^2-8x*x-18 = 0

                                  ==>   2x^2 = 18

                                 ==>   x = ± 3

Also sind die Punkte (3;3) und (-3;-3) .

siehe auch

https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=6c765902df5e6af92864147e1995fa3