Aus Nullstellen Funktionsgleichung angeben

Question

Aufgabe: Geben Sie die Funktionsgleichungen von zwei Funktionen an, die

a) die nullstellen -2, 3 und 5 haben,

b) die nullstellen -7,-4 und 7 haben

c) die nullstellen 0,3 und 9 haben

d) die nullstellen -8,0 und 8 haben

e) den grad 4 und die nullstellen 0,2 und 5 haben,

f) den grad 3 und die einzige nullstelle 4 haben.

Problem/Ansatz: hi,

brauche unbedingt hilfe bei der kompletten aufgabe. checke überhaupt nichts.

danke im voraus!!

Answer 1

Stichwort Linearfaktoren...

$$a) f(x)=(x+2)(x-3)(x-5), g(x)=x(x+2)(x-3)(x-5) \\ b)f(x)=(x+7)(x+4)(x-7), g(x)=x(x+7)(x+4)(x-7) \\ c)f(x)=x(x-3)(x-9), g(x)=x^2(x-3)(x-9) \\ d)f(x)=x(x+8)(x-8), g(x)=x^2(x+8)(x-8)\\ \text{Rest als Übung}$$

Zusatz zu f):

$$\text{Für komplex definierte Funktionen gibt es keine Lösung zu dieser Aufgabe }\\\text{(vgl. Fundamentalsatz der Algebra)}.\\ \text{Ansonsten sind } f(x)=(x-4)(x^2+1) \text{ und } g(x)=(x-4)(x^2+42)\\ \text{mögliche Lösungen, da der Linearfaktor (x-4) die Nullstelle 4 repräsentiert}\\\text{und die Polynome } x^2+1 \text{ und } x^2+42 \text{ nicht reell }\\\text{in Linearfaktoren zerlegbar sind.}$$

Comments

Ja, das sind jeweils zwei Möglichkeiten, doch es gibt doch unendlich viele Möglichkeiten, denn ich kann mir doch fast jeden Faktor ausdenken und die Nullstellen bleiben erhalten. Dabei ist es sogar egal, ob dieser Faktor eine Funktion von x oder eine Konstante ist.