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Aufgabe:

Treffen sie die Annahme, dass die Abfüllmenge von Ananasdosen normalverteilt sei mit einem Erwartungswert von μ=495 g und einer Standardabweichung von 5g. Genau 17% der Dosen enthalten weniger als.. g?


Die Aufgabe übersteigt leider meine Fähigkeiten, ich kenne mich leider nicht so gut aus mit Wahrscheinlichkeitsrechnung, kann mir bitte jmdn weiterhelfen mit den Rechenweg ?

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Aloha :)

Hier handelt es sich um eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu=495\,\mathrm g\) und der Standardabweichung \(\sigma=5\mathrm g\). Die Normalverteilung \(P_{\mu;\sigma}(x)\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen kleiner oder gleich \(x\) ist. Wir suchen also:$$P_{\mu;\sigma}(x)=0,17$$

Einige wenige Taschenrechner können die Normalverteilung für beliebige Erwartungswerte und Standardabweichungen berechnen. Die meisten können allerdings nur die sog. Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) berechnen. Ein solche hat den Erwartungswert \(0\) und die Standardabweichung \(1\). Das reicht in der Regel auch, weil man jede Normalverteilung auf eine Standard-Normalverteilung umrechnen kann, indem man den Erwartungswert \(\mu\) subtrahiert und das Ergebnis bezüglich der Standardabweichung normiert:$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-495}{5}$$In Standard-Normalverteilung ausgedrückt, suchen wir also:$$\Phi\left(\frac{x-495}{5}\right)=0,17$$Mit dem Taschenrechner bestimmen wir die Umkehrfunktion:$$\Phi^{-1}(0,17)\approx-0,954165$$und können damit wie folgt rechnen:$$\left.\Phi\left(\frac{x-495}{5}\right)=0,17\quad\right|\quad\Phi^{-1}(\cdots)$$$$\left.\frac{x-495}{5}=\Phi^{-1}(0,17)\approx-0,954165\quad\right|\quad\cdot5$$$$\left.x-495\approx-5\cdot0,954165\quad\right|\quad+495$$$$\left.x\approx-5\cdot0,954165+495\quad\right|\quad\text{ausrechnen}$$$$x\approx490,229174$$

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Danke dir vielmals für die tolle Erklärung, hat mir wirklich sehr geholfen

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Φ((x - 495)/5) = 0.17 --> x = 490.2 g

Avatar von 477 k 🚀

Können sie mir bitte den Rechenweg  genau erklären?

Was verstehst du denn nicht. Obige Gleichung ist einfach nach x aufzulösen.

Φ((x - 495)/5) = 0.17
(x - 495)/5 = Φ^{-1}(0.17)
x - 495 = 5·Φ^{-1}(0.17)
x = 495 + 5·Φ^{-1}(0.17)

Ob du jetzt die Werte der Standardnormalverteilung mit dem TR berechnest oder in einer Wertetabelle nachschaust bleibt dir überlassen.

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