3 x + y = 38
x * 0,5 y = 56
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
y = 38 - 3 x
Setzt man nun den Term 38 - 3 x in die zweite Gleichung für y ein, so erhält man:
x * 0,5 * ( 38 - 3 x ) = 56
Ausmultiplizieren:
<=> 19 x - 1,5 x 2 = 56
<=> - 1,5 x 2 + 19 x - 56 = 0
Mitternachtsformel anwenden
oder zu Fuß weiterrechnen, dann:
<=> - 1,5 x 2 + 19 x = 56
durch - 1,5 dividieren:
<=> x 2 - ( 38 / 3 ) x = - 112 / 3
Quadratische Ergänzung bestimmen und auf beiden Seiten addieren:
<=> x 2 - ( 38 / 3 ) x + ( 19 / 3 ) 2 = - 112 / 3 + ( 19 / 3 ) 2
Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomoischen Formal als Quadrat schreiben, rechte Seite vereinfachen:
( x - ( 19 / 3 ) ) 2 = - 336 / 9 + 361 / 9 = 25 / 9
Wurzel ziehen:
x - ( 19 / 3 ) = +/- √ 25 / 9 = +/- 5 / 3
Lösungen bestimmen:
x1 = - ( 5 / 3 ) + ( 19 / 3 ) = 14 / 3
x2 = ( 5 / 3 ) + ( 19 / 3 ) = 24 / 3 = 8
Da nur natürlichzahlige Lösungen gesucht sind, entfällt x1
Die erste Zahl ist also x = 8
Die zweite findet man durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen (ich nehme die erste):
3 x + y = 38
<=> y = 38 - 3 x = 38 - 3 * 8 = 14
Die zweite Zahl ist also y = 14
Probe:
Das Dreifache von 8 ist 24 , addiert man 24 zu 14 erhält man 38 (korrekt).
Multipliziert man 8 mit 0,5 * 14 = 7 , so erhält man 8 * 7 = 56 ( auch korrekt).
