Bestimmen Sie die Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 10 haben.

Question

Gegeben ist die Ebene E: x = (2|-1|2) + r(-2|2|8) + s(1|1|0)

Bestimmen Sie die Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 10 haben.

(haben die Hessesche Formel nicht benutzt!)

Ich habe erst mal das Kreuzprodukt verwendet, um den Normalenvenktor zu bestimmen. Anschließend habe ich die Gerade g aufgestellt (g: x = (4|8|5) + t*(-8|8|-4) und dann E mit g gleichsetzt (r= -7/12, s=11/2, t=-7/12).

Danach habe ich t = -7/12 in g eingsetzt und den Durchstoßpunkt D erhalten ( D = 26/3|10/3|-8/3)

Von hier komme ich leider nicht mehr weiter.

Answer 1

Anschließend habe ich die Gerade g aufgestellt

Ob dieser Versuch erfolgreich war können wir nicht nachvollziehen, weil du uns sämtliche Informationen über g vorenthalten hast.

Mein Vorschlag:

Stelle die Gleichungen der beiden Ebenen auf, die zu E parallel sind und von E den Abstand 10 haben.

Kriegst du das hin?

Die Schnittpunkte von g mit diesen beiden Ebenen sind die gesuchten Punkte.

Comments

Edit: Gerade g läuft durch den Punkt P (4|8|-5)

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Edit: Gerade g läuft durch den Punkt P (4|8|-5)

Durch diesen Punkt laufen unendlich viele Geraden mit allen möglichen Richtungen...

Ist der Richtungsvektor vielleicht \( \begin{pmatrix} -8\\8\\-4 \end{pmatrix} \) ?

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Ja, richtig! Der Richtungsvektor ist (-8|8|-4).

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Frage immer noch nicht geklärt, brauche Hilfe, wie ich die Gleichungen der Ebenen aufstellen soll, die zu E parallel sind und von E den Abstand 10 haben.

Answer 2

Bisher ist alles richtig, soweit ich das sehe. Jetzt fehlt nur der letzte Schritt.

Normiere dazu den Richtungsvektor auf die Länge 1 und gehe dann vom Durchstoßpunkt 10 Einheiten auf der Geraden entlang.

Punkte die auf g liegen und von E 10 Einheiten entfernt sind
P1 = [26/3, 10/3, - 8/3] - 10·[-8, 8, -4]/|[-8, 8, -4]| = [46/3, - 10/3, 2/3]
P2 = [26/3, 10/3, - 8/3] + 10·[-8, 8, -4]/|[-8, 8, -4]| = [2, 10, -6]

Comments

Ok.. verstehe soweit alles aber 1 Frage hätte ich noch. Und zwar, warum muss man [-8, 8, -4]/|[-8, 8, -4]| machen. Hebt sich das nicht auf? Also ist ja quasi wie wenn man 1 durch 1 teilt, könnte man sich ja also sparen, oder nicht?

Und noch eine Verständnisfrage: Mann muss +10 und -10 machen, weil die Ebene in 2 Richtungen gehen kann, richtig?

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[-8, 8, -4]/|[-8, 8, -4]|

Man Teilt den Richtngsvektor durch die Länge

[-8, 8, -4]/√(8^2 + 8^2 + 4^2) = [-8, 8, -4]/12 = [- 2/3, 2/3, - 1/3]

Aber Achtung. Ich gehe davon aus das der Normalenvektor der Ebene gleichzeitig der Richtungsvektor der Geraden ist. Wenn dass nicht der Fall ist solltest du nochmals die exakte Aufgabenstellung zur Verfügung stellen.

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Wenn du die Ebenen aufstellen möchtest die zur gegebenen Ebene den Abstand 10 haben wäre das einfach

E2: [2, -1, 2] - 10·[-8, 8, -4]/|[-8, 8, -4]| + r·[-2, 2, 8] + s·[1, 1, 0]
E2: [26/3, - 23/3, 16/3] + r·[-2, 2, 8] + s·[1, 1, 0]

E3: [2, -1, 2] + 10·[-8, 8, -4]/|[-8, 8, -4]| + r·[-2, 2, 8] + s·[1, 1, 0]
E3: [- 14/3, 17/3, - 4/3] + r·[-2, 2, 8] + s·[1, 1, 0]

Damit müsste die Ebene dann nicht mehr Senkrecht zur Ebene E stehen.