Sehr schwierige Umformung mit Summenzeichen

Question

ich habe eine sehr schwierige Umformung, die ich nicht verstehe. Der Schritt von dem ersten zum zweiten Gleichheitszeichen leuchtet mir ein, aber wie kommt man dann auf die untere Zeile?

Darf ich das Summenzeichen auf den Zähler und Nenner aufspalten? Und wenn ja, dürfte ich dann die untere Summe um den Faktor (n-k+1) ergänzen und dann das äußere Summenzeichen weglassen?

\( \begin{aligned}\left(\sum \limits_{j=0}^{n-k} S_{j, k-1}\right)^{-1} \sum \limits_{j=0}^{n-k} S_{j, k} &=\left(\frac{1}{n-k+1} \sum \limits_{j=0}^{n-k} S_{j, k-1}\right)^{-1} \frac{1}{n-k+1} \sum \limits_{j=0}^{n-k} S_{j, k} \\ & =\sum \limits_{j=0}^{n-k} \frac{S_{j, k-1}}{\sum \limits_{l=0}^{n-k} S_{l, k-1}} \frac{S_{j, k}}{S_{j, k-1}} \end{aligned} \)

Bitte helft mir, ich verzweifel gerade daran:(

VG

Answer 1

Die erste Umformung kann weggelassen werden. Es gilt dann

$$ \left(\sum_{j=0}^{n-k} S_{j, k-1}\right)^{-1} \sum_{j=0}^{n-k} S_{j, k} = \frac{ \sum_{j=0}^{n-k} S_{j, k} }{ \sum_{j=0}^{n-k} S_{j, k-1} } \frac{ S_{j,k-1}  }{ S_{j,k-1}  } = \sum_{j=0}^{n-k} \frac{ S_{j, k-1} }{ \sum_{j=0}^{n-k} S_{j, k-1} }  \frac{ S_{j,k}  }{ S_{j,k-1} } $$

Comments

vielen Dank, darf ich dann das j einfach in l umbenennen?

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Ja klar, das ist ja nur eine lokale Laufvaiable in der Summe.