Zeigen Sie, dass es genau eine Gerade gibt, welche die Geraden g:x=[-2/0/4]+r*[4/-3/1] und …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es genau eine Gerade gibt, welche die Geraden g:x=[-2/0/4]+r*[4/-3/1] und h:x=[6,25/0/-5]+s*[4/3/-2] orthogonal schneidet. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier nun mit der Orthogonalitätsbedingung die Punkte F und P ausgerechnet. Allerdings bezweifle ich, dass diese richtig sind.

F(2869/52;477/13;-383/13)
P(4688/39;586/13;-430/39)

Aus diesem würde ich nun die Gerade bilden. Wo hat sich hier ein Fehler eingeschlichen?

Answer 1

g:x=[-2/0/4]+r*[4/-3/1] und h:x=[6,25/0/-5]+s*[4/3/-2]

Verbindung zweier Punkte wäre

[-2/0/4]+r*[4/-3/1] - ([6,25/0/-5]+s*[4/3/-2]) =r*[4/-3/1] +s*[-4/-3/2]+[-8,25/0/9]

2 Punkte, deren Verbindung zu beiden Geraden orthogonal sind durch

(r*[4/-3/1] +s*[-4/-3/2]+[-8,25/0/9])*[4/-3/1]=0   und

(r*[4/-3/1] +s*[-4/-3/2]+[-8,25/0/9])*[-4/-3/2]=0  gegeben.

Das gibt

26r-5s=24     und  -5r+29s=51

==> r=49/81   und s=-134/81

Damit die Punkte (-119/324;  -134/27   ; -137/81 )   und

(34/81 ;  -49/27  ; 373/81 )

Das sieht ja auch nicht besser aus, aber die Differenz der

Punkte ist ( 85/108 ; 85/27 ; (170/27) = (85/108) * [1 ; 4 ; 8 ]

und das ist in der Tat zu beiden Geraden senkrecht.

Comments

Hallo, vielen Dank schonmal :)

Das sieht ja auch nicht besser aus, aber die Differenz der

Punkte ist ( 85/108 ; 85/27 ; (170/27) = (85/108) * [1 ; 4 ; 8 ]

und das ist in der Tat zu beiden Geraden senkrecht.

Diesen Punkt verstehe ich leider noch nicht. Was bezweckt man damit und wie kommen die (85/108) * [1 ; 4 ; 8 ] zustande?

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Das soll sozusagen die Probe sein, die zeigt, dass

das Ergebnis, obwohl es so "krumme" Zahlen sind, stimmt.

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Hey

Wie kommst du auf [-2/0/4]+r*[4/-3/1] - ([6,25/0/-5]+s*[4/3/-2]) =r*[4/-3/1] +s*[-4/-3/2]+[-8,25/0/9]
? Also wieso wird das so gerechnet? Was ist die Erklärung dahinter?

Vielen Dank für die Hilfe

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Verbindung zweier Punkte ist immer die Differenz der Ortsvektoren.

Und die Verbindung brauchst du ja, damit diese Verbindung

auf beiden geraden senkrecht steht ( gemeinsames Lot ) .