Integralrechnung mit Parameter (t bestimmen)

Question

Aufgabe:

Für jedes t > 0 ist eine Funktion f_t  gegeben durch f_t (x)= x²-t² . Der Graph von f_t schließt mit der x-Achse eine Fläche A_(t) ein. Bestimmen Sie A_(t) in Abhängigkeit von t. Für welche t beträgt der Flächeninhalt 36 FE?

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal versucht die Aufgabe schriftlich ohne GTR zu lösen, weil so eine Aufgabe auch im A-Teil im Abi dran kommen könnte. Bei mir hebt sich das t aber auf. Mein GTR zeigt mir bei der Aufgabe auch keine Lösung an? Ich weiß jetzt nicht was ich übersehen habe.

Answer 1

\(\begin{aligned} A(t) & =\left|\int_{-t}^{t}\left(x^{2}-t^{2}\right)\text{d}x\right|\\ & =\left|\left[\frac{1}{3}x^{3}-t^{2}x\right]_{-t}^{t}\right|\\ & =\left|\left(\frac{1}{3}t^{3}-t^{2}\cdot t\right)-\left(\frac{1}{3}\left(-t\right)^{3}-t^{2}\cdot\left(-t\right)\right)\right|\\ & =\left|\left(\frac{1}{3}t^{3}-t^{3}\right)-\left(-\frac{1}{3}t^{3}+t^{3}\right)\right|\\ & =\left|\frac{1}{3}t^{3}-t^{3}+\frac{1}{3}t^{3}-t^{3}\right|\\ & =\left|-\frac{4}{3}t^{3}\right|\\ & =\frac{4}{3}t^{3} \end{aligned}\)

Comments

Aber wenn ich x² integriere, müsste da nicht 1/3 x³ rauskommen?

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Ja. Steht da auch. In der zweiten Zeile direkt nach der öffnenden Klammer.