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kann mir da jemand bitte weiterhelfen? (arg z)

also ich hab 8*arctan (9) rausbekommen aber woher soll ich wissen, wie viele Pi ich noch dazuzählen muss um zum "echten" Winkel zu kommen?Bildschirmfoto 2020-09-27 um 15.04.37.png

Text erkannt:

Gegeben ist die komplexe Zahl \( z=(-1-9 \mathrm{i})^{8} . \) Berechnen Sie den Betrag und das Argument der Zahl \( z \).
\( |z|=\sqrt{\operatorname{sqr}\left(82^{\wedge} 8\right)} \)
\( \mathbb{Q} \)
\( \arg z= \)
\( \mathbb{Q} \)

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3 Antworten

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Berechne das Argument von -1-9i (III. Quadrant).

Multipliziere das Ergebnis mit 8.

Dann n*2pi subtrahieren, bis du zwischen 0 und 2pi angekommen bist.

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woher weiß ich ohne Taschenrechner ob ich zwischen 0 und 2 Pi bin?

Ohne Taschenrechner bekomme ich nicht einmal das Argument von -1-9i heraus.

:-)

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|z| = √(1^2 + 9^2)^8 = 45212176

arg(z) = 8·(ATAN(- 9/(-1)) + pi) - 5*2pi = 5.397927537

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Aloha :)

Wir wandeln zunächst die Zahl in der Klammer in Polarschreibwese um:$$z=-1-9i$$$$\left|z\right|=\sqrt{1^2+(-9)^2}=\sqrt{82}$$$$\varphi=\arctan\left(\frac{\mathrm{Im}}{\mathrm {Re}}\right)=\arctan\left(\frac{-9}{-1}\right)=\arctan(9)+\pi$$

Damit können wir nun die Zahl wie folgt schreiben:$$z^8=(-1-9i)^8=\left(\sqrt{82}\cdot e^{i(\arctan(9)+\pi)}\right)^8=(\sqrt{82})^8\cdot e^{i\,8(\arctan(9)+\pi)}$$Wir lesen den Betrag ab:$$\left|z^8\right|=(\sqrt{82})^8=\boxed{82^4=45\,212\,176}$$und beachten beim Winkel, dass wir ihn auf das Intervall \([0;2\pi]\) runterrechnen müssen:

$$\varphi=(8\left(\arctan(9)+\pi)\right)\operatorname{mod}2\pi=(8\arctan(9))\operatorname{mod}2\pi\approx5,397928$$Dieses \(\operatorname{mod}2\pi\) bedeutet, dass du vom Ergebnis so lange \(2\pi\) subtrahieren musst, bis ein Wert zwischen \(0\) und \(2\pi\) übrig bleibt. wir rechnen das Argument noch in Grad um:$$\varphi=5,397928\cdot\frac{180}{\pi}=\boxed{309,2785^\circ}\;\widehat=\;\boxed{-50,7215}$$Falls ihr in der Vorlesung das Argument zwischen \(0\) und \(360\) Grad angebt, musst du den positiven Winkel angeben, wenn ihr das Argument zwischen \(-180\) und \(180\) Grad angebt, müsst du den negativen Wert als Lösung angeben.

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